Материал: 3535

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Функция y(t) является решением дифференциального уравнения.

Задача 2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение и оценить устойчивость звеньев по корням характеристических уравнений:

W (s)	3s 5
		.
	(s 2)(s 2 3)

Исследование автоматических систем существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида


a	d 2 y	a	dy	a y b		dx	b x
a	dt2	a		a y b			b x
2	dt2	1	dt	0	1 dt		0

где х и у – входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

X (s) x(t)e st dt ,

Y (s) y(t)e st dt .

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в за-

	n
мене знаков дифференциалов	d	на операторы	sn , знаков интегралов ...dt на
	n
	dt

множители 1 , а самих x(t) и y(t) – изображениями X(s) и Y(s).

Воспользуемся определением передаточной функции и найдем операторное уравнение:

(s 2)(s2 3)Y (s) (3s 5) X (s) .
Произведем замену sn на	d n	, x(t) и y(t) на X(s) и Y(s).
	dt n

									22
	d 3 y	2	d 2 y	3	dy	6 y 3	dx	5x .
	dt3	2	dt2	3		6 y 3		5x .
	dt3		dt2		dt		dt
Задача 3. По заданным изображениям Y(s) получить оригиналы y(t) ис-
									Y (s)	3s 7
пользуя преобразование Лапласа:											.
пользуя преобразование Лапласа:										s3 s2 6s 13	.

Для определения преобразования Лапласа от дроби Y (s) необходимо эту правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей, которые определяются в соответствии с корнями характеристического уравнения и по которым преобразование Лапласа можно взять, используя таблицы преобразования; рассматриваемая дробь имеет три нулевых корня и пару комплексно-сопряженных корней, поэтому она разлагается на простейшие дроби следующим образом:

3s 7

Ds E

Y (s)

s3 s2 6s 13

s2 6s 13

As2

6s 13 Bs s2

6s 13 C s2 6s 13 Ds E s3

s3 s2 6s 13

В результате разложения была получена сумма простейших дробей, коэффициенты которых определяются методом неопределенных коэффициентов, для чего рассматривается равенство двух дробей. Две правильные рациональные дроби равны между собой, если равны их числители и знаменатели. Так как знаменатели равны, то, следовательно, необходимо приравнять друг к другу и числители. Приравняв в числителях коэффициенты при одинаковых степенях параметра s получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

A D 0;

6 A B E 0;13A 6B C 0;13B 6C 3;13C 7.

Решая систему уравнений, получим следующие корни:

A 219773 ; В 1693 ; С 137 ; D 219773 ; E 2197477 .

Таким образом, исходная дробь записывается в следующим виде:

							23
Y s	7	1	3	1	73	1	1	73s 477	.
Y s		s3		s2					.
	13	s3	169	s2	2197	s	2197	s2 6s 13

В соответствии с таблицами преобразований Лапласа (прил. 1) оригинал выходной функции имеет вид

y t 267 t2 1693 t 219773 219773 e 3t cos 2t 2197129 e 3t sin 2t .

Задача 4. Определить общую передаточную функцию, структурная схема которой приведена на рис. 2.

Определим предварительно передаточные функции типовых соединений звеньев:

передаточную функцию параллельного соединения звеньев:

W5 (s) W1 (s) W2 (s) ;

передаточную функцию последовательного соединения звеньев:

W6 (s) W5 (s) W2 (s) .с учетом введенных обозначений структурную схему системы можно привести к виду, изображенному на рис. 3.

х(t)

W1(s)

W3(s)

у(t)

W2(s)

W4(s)

Рис. 2 Структурная схема системы

х(t)		у(t)
х(t)	W6(s)
	W6(s)

W4(s)

Рис. 3 Структурная схема эквивалентной системы

Wоб (s) Wр (s)

Используя структурные преобразования, запишем общую передаточную функцию системы

Wоб	(s)	W6 (s)		.
		W6 (s) W4
	1		(s)

Подставляя вместо W5 (s) , W6 (s) их значения, получим окончательно

Wоб	(s)	W1 (s) W2 (s) W3 (s)		.
		W1 (s) W2 (s) W3 (s) W4
	1		(s)

Задача 5. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования (рис. 4):

1)с помощью критерия Рауса-Гурвица;

2)с помощью критерия Михайлова.

х(t)	Wоб(s)	у(t)
Wр(s)	Wоб(s)

Рис. 4 Структурная схема системы автоматического регулирования

Заданы передаточные функции объекта и регулятора:

W		(s)	5	;	W (s)	3s 2	.
						s3 2s2 s 3
	р		2s		об

1) Для исследования устойчивости систем автоматического регулирования с помощью критерия Рауса-Гурвица необходимо знать дифференциальное или характеристическое уравнение системы. Знаменатель передаточной функции всегда представляет собой характеристический полином, поэтому необходимо, прежде всего, записать передаточную функцию замкнутой одноконтурной системы (рис. 4):

Wзс (s) 1 Wоб (s) Wр (s) .

Характеристическое уравнение определяется путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы

1 Wоб (s) Wр (s 0,

с учетом исходных данных передаточных функций объекта и регулятора найдем передаточную функцию замкнутой одноконтурной системы:

n 1.


		5		3s 2
W (s)	2s s3			2s2 s 3	.

1			5	3s 2
зс

2s s3 2s2 s 3

откуда характеристическое уравнение запишется в следующим виде:

2s4 4s3 2s2 21s 10 0.

Задачу будем решать с использованием формулировки критерия устойчивости по Гурвицу. Для этого необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить главный определитель Гурвица по определенному правилу: вдоль главной диагонали записываются коэффициенты, начиная с an 1 , выше главной диагонали записываются коэффициенты с индексом на единицу меньше, ниже главной диагонали записываются коэффициенты с индексом на единицу больше. Порядок определителя соответствует порядку характеристического уравнения. Из этого определителя составляются диагональные миноры, которых должно быть

Система автоматического управления будет устойчивой тогда и только тогда, когда все диагональные миноры главного определителя будут положительны.

Для нашей задачи главный определитель Гурвица имеет вид

4	21	0	0
2	2	10	0
0	4	21	0
0	2	2	10
Вычислим				последовательно диагональные миноры:

1 4 0;2 8 42 34 0;

3 4 (42 40) 21 42 874 0;4 87410 8740 0.

Все диагональные миноры отрицательны, следовательно, система неустойчива. Следует отметить, что для исследования устойчивости не обязательно вычислять все миноры. Если при вычислении миноров получают, что его значение отрицательно, дальнейшие расчеты можно прекратить и сделать вывод, что система неустойчива.

2) Исследуем систему автоматического управления на устойчивость с использованием частотного критерия устойчивости Михайлова.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных