Материал: 2488

fi x и fj x независимы в остальных случаях.

Соотношения , имеют свойства симметрии, ассоциативности, рефлексивности, транзитивности.

Если целевые функции дифференцируемы, то

Представим функцию hi t 0, 1 , измеряющую степень выполнения требований ЛПР к i-й цели, значением t. Hi x hi f x может рассматриваться как степень принадлежности x в нечетком множестве «хорошие решения» i-й цели. Тогда «хорошее компромиссное решение» многокритериальной задачи оптимизации может быть определено как x, являющийся «настолько хорошим, насколько возможно» для полного набора целей. Естественно искать такой вид решения в виде

maxT H1 x ,...,Hk x , где T t-норма, представляющая нечеткую

x X

конъюнкцию.

Существует несколько способов представить функции hi t ; обычно рассматриваются увеличивающиеся функциипринадлежности:

где mi независимый минимум и Mi независимый максимум i-го критерия.

161

Определим Hi x как линейные функции:

Решаем вспомогательную задачу maxT H1 x, f1 x ,...,Hk x, fk x .

x X

Предположим, что существует решение задачи с многими целевыми функциями. Объяснение введения типа функций формы Hi x, fi x следующее: если увеличить значение i-й цели, имеющей большое положительное значение fi , это приведет к увеличению большинства критериев (поддерживающих большую часть целей), что приведет к приближению к оптимальному значению скалярной функции.

Пусть x* оптимальное решение для maxT H1 x ,...,Hk x , где

x X

T t-норма; Hi x hi fi x , i 1,...,k.

Если hi строго увеличивается на mi...Mi , тогда x* эффектив-

ное для задачи max f1 x ,...,fk x .

x X

162

Используем в качестве t-нормы функцию минимума, тогда задача

3.2. Многокритериальное управление

Большинство методов расчёта систем управления рассматривают

только оптимальные решения (например, по норме H передаточной функции замкнутой системы), функции чувствительности собственных значений и т.д. Однако практические системы управления должны удовлетворять одновременно различным (часто противоречивым) целям. Многие традиционные подходы используют скалярное суммирование всех целей с весами в одну функцию стоимости; однако неясно, как регулятор влияет на каждую цель. Во время последних двух десятилетий многоцелевое управление рассматривали как технологию проектирования. Цели системы управления описаны рядом индексов характеристик. Например, множественные цели можно рассмотреть как различные типы норм по функциям преобразования типа

(H ,H2,L1).

Конфликты и компромиссы в СУ. Проектирование СУ основа-

но на балансе между противоречивыми стоимостью, дизайном и характеристиками. Существует компромисс между настройкой возмущений и фильтрацией погрешности измерения, компромисс между характеристиками системы и робастностью по отношению к мультипликативным возмущениям.

Многокритериальное робастное управление. Невозможно по-

лучить точную модель объекта СУ. В течение функционирования СУ объект изменяет динамические характеристики, поэтому при проектировании СУ необходимо поддержать устойчивость и другие характеристики при наличии неопределенностей. Традиционно используются методы проектирования, основанные на аналитической или параметрической оптимизации СУ. Аналитические методы оптимизации робастно устойчивы, обеспечивают глобальный оптимум; но они имеют одну цель и не гибкие. Параметрическая оптимизация основана на методах, которые являются многоцелевыми и гибкими; однако они не являются робастно устойчивыми, могут иметь дело только с малыми задачами. Комбинация аналитической и параметрической оптимизации – многокритериальное робастное устойчивое управление

163

со смешанной оптимизацией, используется для преодоления недостатков только одного подхода. Многокритериальное робастное устойчивое управление со смешанной оптимизацией было применено к процедуре формирования замкнутого контура (LSDP – loop-shaping design procedure), которая основана на комбинации робастной стабилизации H и формировании замкнутого контура.

Многокритериальное PID управление. PID-регулятор – наибо-

лее популярный подход управления производственным процессом. В частотной области существуют две характеристики для измерения запаса устойчивости системы: запас по амплитуде и запас по фазе. Наряду с устойчивостью система должна соответствовать требуемой ширине полосы частот. Многокритериальное PID управление предполагает четыре требования в частотной области: запас по амплитуде, запас по фазе, частота пересечения (A=1) и статическая ошибка.

Многокритериальная оптимизация реализаций контроллера.

Проектирование цифровых СУ проводится по одному из двух путей: проектирование выполнено в непрерывной временной области и впоследствии СУ дискретизирована; объект дискретизирован и проектирование выполнено в дискретной временной области. Оба метода формируют пространство состояний или передаточные функции СУ. Однако недостаточно рассмотреть дифференциальное (разностное) уравнение СУ без рассмотрения соответствующей арифметики (длина слова и реализация СУ). Существуют проблемы, которые необходимо рассмотреть при выборе цифровой реализации СУ. Ошибки округления приводят к искажениям системы, конечное представление точности параметров регулятора вызывает понижение устойчивости и других характеристик системы.

Эти задачи становятся более заметными, если необходимо увеличение интенсивности замеров, увеличение степени интеграции СУ. Возникает вопрос: как упорядочить структуру СУ, чтобы редуцировать эффекты конечной точности. Цифровое управление – основная платформа для реализации СУ почти во всех прикладных областях, поэтому важна проблема конечной точности в реализации. Точность вычислительного устройства может быть увеличена увеличением длины слова или применением архитектуры с плавающей запятой, однако при этом увеличивается стоимость использования более слож-

164

ной архитектуры (увеличенный расход на финансирование, стоимость структуры кристалла, стоимость программы, понижение надежности).

Многокритериальная нелинейная идентификация. Для нели-

нейных систем идентификации важны два ключевых вопроса: как определить точность нелинейной аппроксимируемой функции и как выбрать нелинейные функциональные единицы, чтобы гарантировать точность. Многие из подходов нелинейной системной идентификации фиксируют число нелинейных функциональных единиц и используют единственную функцию характеристик, например L2-норму разности между нелинейной системой и ее моделью. Однако в нелинейной системе идентификации рассматривают много целей, находящихся в противоречии. Следовательно, должен быть компромисс между целями. Должны быть процедуры, которые позволяют отобрать лучший вариант среди небольшого количества моделей.

Многоцелевое обнаружение неисправностей. Выявление неис-

правностей стало важной темой при современной автоматизации процессов, так как обеспечивает предпосылки отказоустойчивости, надежности или безопасности, которые составляют фундаментальные характеристики системы. Общая процедура выявления неисправностей в динамических системах при помощи аналитической избыточности состоит из разностей и решения относительно местонахождения неисправности и изоляции дефектного элемента. Чтобы сделать разность нечувствительной к моделированию неопределенности и чувствительный к неисправностям чувствительного элемента, определяются индексы рабочих характеристик для достижения требуемых характеристик выявления неисправностей.

Чтобы диагностировать возникающие неисправности, проектируют оптимальные разности (оцениваемые наблюдателем), основанные на многокритериальной оптимизации. Индексы рабочих характеристик выражены в частотной области, чтобы принять во внимание распределения частот неисправностей, искажения и моделирующей неопределенности. Все цели переформулируются в форме ограничений неравенств на индексы рабочих характеристик. Многоцелевой алгоритм выявления неисправностей используется для отыскания оптимального решения, удовлетворяющего всем целям, выраженным в форме неравенств.

165