Материал: 2488

х t A KC х t B KD u t Ky t ;

у t Cх t Du t ; r t Q y t у t ,

где r t Rp – остаточный вектор; xˆ, yˆ – оценки векторов состояния и выходного сигнала соответственно; матрица Q Rp m – матрица весов остатков.

Системное уравнение для вектора ошибки оценивания состояния e t x t xˆ t и вектора остатка r t :

е t (A KC)e t Ed t R1 f t KR2 f t ;

r t QCe t QR2 f t .

Преобразование Лапласа отклика остатка на неисправности и возмущения:

r s QR2 f s QC sI A KC 1 R1 KR2 f sQC sI A KC 1E d s e 0 ,

где e 0 – начальное значение ошибки оценивания состояния. Очевидно, что остаток r t и ошибка оценивания e t ненулевые

даже при отсутствии неисправностей. Трудно отличить влияние неисправностей от влияния возмущений, действующих на систему. Влияние возмущений приводит к ложным срабатываниям FDI, поэтому для минимизации ложных срабатываний необходимо формировать остатки, декомпозированные относительно возмущений и неисправностей.

Многокритериальная диагностика неисправностей. И неис-

правности и возмущения действуют на остаток, трудно различить эти два эффекта. Необходимо увеличить влияние неисправностей на остаток и уменьшить влияние возмущений. Увеличить влияние неисправностей можно максимизацией следующего индекса в заданном диапазоне частот:

1, 2

где , обозначают минимальные и максимальные сингулярные зна-

чения матрицы соответственно.

171

Влияние возмущений и начальных условий можно редуцировать

Кроме неисправностей и возмущений на остаток влияет шум. Пусть t шум входного сигнала; t шум чувствительного элемента; системные уравнения в этом случае

x t Ax t Bu t R1 f t t ;

y t Cx t Du t R2 f t t .

Шум чувствительного элемента, так же как неисправности, действуя через R2 f t , действует на остаток таким же образом, но диапазоны частот неисправностей и шума различны. Для редуцирования влияния шума на остаток необходимо минимизировать норму

Q QC j I A KC 1K .

Влияния возмущений и неисправностей могут быть разделены при использовании различных частотно-зависимых весовых штрафов:

1, 2

Для максимизации влияния неисправностей на низких частотах и минимизации шумов на высоких вводится частотно-зависимый весовой множитель W1 j , имеющий большое значение амплитуды на низких частотах и малое значение на высоких. Частотный эффект W3 j должен быть обратным: W3 j W1 1 j .

Рассмотрим установившееся значение остатка: r QR2 f QC A KC 1 KR2 R1 f A KC 1d . По-

сле времени переходного процесса стационарное значение остатка играет важную роль в FDI. Идеально это должно реконструировать сигнал неисправности. Влияние возмущения на остаток может быть

редуцировано минимизацией индекса: 4 K A KC 1 ; при этом

матрица K увеличивается и норма A KC 1K приближается к по-

стоянному значению. Это означает, что влияние неисправности на ос-

172

таток не изменяется уменьшением влияния возмущения, что и требуется для хороших характеристик FDI.

Распределение возмущений и локализация неисправности.

Предположим, что матрица распределения возмущений известна: d t Ed' t , где E известная матрица; d' t неизвестный вектор. В

Для локализации неисправности должно быть сформировано структурированное остаточное множество. Структурированный означает чувствительность к одним неисправностям и нечувствительность к другим. Неисправности могут быть разделены на две группы: f1 t , f2 t уравнение системы в этом случае запишется

x t Ax t Bu t R11 f1 t R12 f 2 t d t ; y t Cx t Du t R21 f1 t R22 f 2 t .

Если проектировать остаток, чувствительный к f1 t и нечувствительный к f2 t , то индекс 1 K,Q должен быть изменен:

1, 2

Многокритериальная диагностика неисправностей. В общем случае не существует решения, которое минимизирует все индексы характеристик. Параметр, обеспечивающий минимизацию частного индекса, может привести к недопустимому росту других индексов характеристик, следовательно, проектирование должно проводиться с компромиссами. Подходом к решению многокритериальной задачи оптимизации при проектировании СУ является метод неравенств в комбинации с Gas, основная концепция которого в замене минимизации индексов ограничениями в форме неравенств на индексы характеристик. То есть многокритериальная оптимизация переформулируется как задача нахождения множества параметров Z,W,Q, удовлетворяющих следующим неравенствам: i Z,W,Q i, i 1,...,5, где действительные числа i представляют численные границы (требования разработчика) индексов характеристик i Z,W,Q .

173

Если минимальное значение i Z,W,Q , достигаемое минимиза-

цией, есть i*, то границы критериев должны удовлетворять неравен-

ству i i*, так как множество параметров минимизирующих частные индексы характеристик могут увеличивать другие индексы. Если

Задача многокритериальной оптимизации – найти множество параметров для размещения всех индексов характеристик в приемлемых областях. Регулируя границы i , можно акцентировать любую из це-

лей. Если индекс j важен для задачи, можно приблизить j к *j .

Пусть i множество параметров Z,W,Q , для которых выполняется i-й критерий: i Z,W,Q : i Z,W,Q i . Тогда допустимое

может быть найдено методом неравенств в сочетании с GAs.

3.5. Нахождение равновесия Нэша динамических игр n лиц

Игра n лиц определена множеством Sk ; k 1,...,n допустимых стратегий каждого игрока k и платежными функциями fk . Предполагается, что игроки могут выбрать свои стратегии независимо друг от друга. Однако в некоторых приложениях общая сумма ресурсов, используемых всеми игроками, ограничена. Будем использовать стратегическое представление игры n лиц в виде

174

p s xk p' s Ck' Lk 0,

получим p' s xk' s p' s xk s p" s Ck" xk s xk' s 0, считая, что

xk' s p' s xk s p" s p' s Ck" xk s 0. Равновесие Нэша –

единственное решение s* монотонного уравнения с одним неизвест-

n

ным: xk s s 0, где s* полный выпуск продукции в точке рав-

k 1

новесия и равновесный выпуск продукции фирмы k: xk* xk s* .

175