Материал: 2488

делирования локального поведения (неизвестной) функции стоимости.

Используется задача ε-ограничений для определения Паретооптимальных решений и получения информации о компромиссах в текущем решении; запрашивают ЛПР для формирования предельных норм замещения. Метод предполагает: 1) неявная функция стоимости непрерывно дифференцируема, вогнутая и строго монотонно уменьшается; 2) все целевые функции выпуклы и дважды непрерывно дифференцируемы; 3) область допустимых решений компактная и выпуклая; 4) оптимальные KKK множители обеспечивают частичные компромиссные решения. Итерации организованы следующим образом: задача ε-ограничений используется для определения Паретооптимальных решений; запрашивается ЛПР о предельных нормах замещения, которые используются для нахождения направления поиска. Оптимальная длина шага аппроксимируется представляющей функцией и вектор границ обновляется для нахождения следующей итерации.

Метод GRIST (gradient based interactive step trade-off) разработал Янг. Он разработан для решения общих (не обязательно выпуклых) дифференцируемых задач со связным (k−1)-мерным Парето-опти- мальным множеством. В методе проецируется вектор, определенный предельными нормами замещения, задаваемыми ЛПР на плоскость, касательную к Парето-оптимальной границе при текущей итерации. Эта проекция – направление возрастания функции стоимости; опорная точка, полученная в этом направлении, формирует следующую итерацию. Метод предполагает: 1) неявная функция стоимости непрерывно дифференцируемая и строго уменьшается; 2) целевые функции непрерывно дифференцируемы; 3) область допустимых решений компактная; 4) Парето-оптимальное множество связное и имеет размерность (k−1); 5) сформированные решения регулярные. В GRIST запрашивается ЛПР для формирования предельной нормы замещения. Соответствующий вектор проецируется на плоскость, касательную к Парето-оптимальной границе, и оценивается длина шага; полученная точка проецируется на Парето-оптимальное множество, что приводит к новому решению.

Укажем особенности описанных методов.

Сходимость. Может быть доказана сходимость всех методов к оптимуму неявной функции стоимости.

Информация. Информация предпочтений, запрашиваемая от

151

ЛПР, незначительная для метода Z-W (запрашивается желательность предложенных компромиссов), значительная интенсивно для методов SPOT, GDF, GRIST (запрашиваются предельные нормы замещения на текущей итерации) и очень значительная для метода ISWT (запрашивается замещение стоимости для каждого компромисса).

Тип задачи. Метод Z-W имеет дело с выпуклыми задачами, для которых может быть выполнена кусочная линеаризация. Метод GDF проектирован для выпуклых задач. Методы SPOT и ISWT допускают отсутствие выпуклости. Метод GRIST предполагает, что Паретооптимальное множество связное и полноразмерное.

Парето-оптимальность решений не гарантируется в методе GDF; все другие методы гарантируют Парето-оптимальность окончательных решений.

3.1.4. Интерактивные методы опорной точки

Разделение моделей предпочтения и реальных моделей. В

системе поддержки принятия решений необходимо различать субъективную часть, представленную моделями предпочтения, и объективную часть, представленную реальными моделями целей. Реальная модель имеет следующую формулу: y F x,v,a x S; где y – выходной вектор результатов; x – вектор решений, которым управляет пользователь; v – вектор возмущений, которым не управляет пользователь; a

– вектор параметров модели; F – вектор функций (целей и ограничений); S – множество допустимых решений. Форма немного сложнее, чем z f x ; последняя форма – упрощение фактической сложности моделей, включающих множественные цели.

Реальная модель включает спецификации ограничений. Реальная модель не должна представить предпочтения ЛПР, кроме одного аспекта: количество результатов в этой модели должно быть достаточно большим для использования их в представлении структуры предпочтений P x, y ЛПР. Методы опорной точки предполагают, что структура предпочтений должна быть общей, т. к. детализация структуры нарушает право ЛПР изменить предпочтения. Общая специфика содержит отбор (ЛПР) результатов для измерения качества решений, целей или критериев. Второй уровень специфики в методах опорной точки состав опорных точек (желательные значения целевой функции). Детализация предпочтений может включать идентификацию

152

функции стоимости, однако в методах опорной точки акцентируются на изучении вместо идентификации.

Нелинейность предпочтений. Предпочтения ЛПР имеют нели-

нейный характер. Любое линейное приближение предпочтений деформирует их в сторону несбалансированных решений. Возможно линейное агрегирование, но у него есть несколько недостатков: 1) взвешенная сумма имеет тенденцию поддерживать решения с несбалансированными целями (Korhonen парадокс); ЛПР предпочитает сбалансированные решения; 2) взвешенная сумма основана на неявном предположении, что анализ компромисса применим ко всем целевым функциям; в экономических приложениях обычно не сталкиваются с компенсационным характером целей. Линейная взвешенная сумма слишком упрощена в представлении типичных человеческих предпочтений, которые часто нелинейные; используя этот упрощенный подход, можно получить неблагоприятные побочные эффекты.

Целостное восприятие целей. Третье предположение методов опорной точки состоит в том, что ЛПР выбирает решение, используя целостную оценку ситуации решения; DSS должна сообщить ЛПР об области релевантности значений целевой функции: 1) диапазоны це-

левых функций включают определение нижнего zloj и верхнего zupj

пределов допустимых решений; 2) Парето-оптимальные диапазоны целей рассчитываются для Парето-оптимальных решений; нижняя

(идеальная) граница zloj обычно равна z*j ; верхняя znadj – надир целей. Часто используют относительные значения целевых функций:

Опорные точки как инструмент целостного изучения. Другое предположение методов опорной точки состоит в том, что опорные точки рассматриваются как инструмент адаптивного, целостного изучения ситуационного пространства.

Функции достижимости предназначены для аппроксимации значений. Учитывая частичную информацию о предпочтениях, их нелинейностях и информацию о положении опорных точек в диапазонах целевой функции, может быть предложена аппроксимация нелинейной функции стоимости, совместимая с этой информацией.

Независимость ЛПР. Функции достижимости имеют свойство полной управляемости: любые Парето-оптимальные решения могут

153

быть выбраны ЛПР модификацией опорных точек и максимизацией функций достижимости. Это обеспечивает независимость ЛПР.

Конечные цели: поддержка интуиции в отличие от рациональной объективности. Основная цель поддержки субъективных ЛПР – усиление его интуиции за счет целостного изучения пространства решений.

Особенности методов опорной точки. Большое несоответствие между противоположными концами спектра методов выявления предпочтений указывает на необходимость среднего подхода, достаточно простого и адаптивного, но не упрощенного. Процесс интерактивного принятия решений с использованием методов опорной точки состоит из следующих шагов: 1) ЛПР определяет опорные точки; DSS вычисляет нейтральные решения, реакцию на опорные уровни, расположенные в центре диапазонов целевой функции; 2) DSS реагирует максимизацией функции достижения нелинейной агрегацией целевых функций, интерпретируемых как адаптивное приближение функции стоимости ЛПР, основанной на информации о диапазонах целевых функций и позиционировании предпочтений в этих диапазонах; 3) ЛПР свободен в возможности изменения опорных точек. Он использует эту свободу для зондирования Парето-оптимального множества.

Для определения функции достижимости найдем достижимости для каждой целевой функции, трансформируя их:

Коэффициенты , выбираются для формирования вогнутости этой функции. Значение j zj,zaj ,zrj этой функции достижимости (где zj fj x ;x S для данного вектора решения x) выражает уровень удовлетворения с целью j. После преобразования всех значений целевой функции можно использовать следующую форму максимизируемой функции достижения:

154

где z вектор целей; za вектор желаемых уровней; zr вектор уровней резервирования; 0 регуляризующий коэффициент.

Функция достижимости имеет важное свойство управляемости; при малых значениях 0 для любой точки z в множестве Паретооптимальных векторов целей можно выбрать такие опорные уровни, что максимум функции достижимости будет достигнут точно в этой точке; если 0, все максимумы функции достижимости соответствуют Парето-оптимальным решениям. Таким образом, поведение функций достижимости соответствует функции стоимости и взвешенным суммам.

3.1.5. Методы, основанные на классификации

Согласно определению Парето-оптимальности движение от одного Парето-оптимального решения к другому подразумевает компромисс: двигаться к другому Парето-оптимальному решению, улучшая некоторые значения целевых функций, при этом другие значения целевых функций могут ухудшаться. Методы, основанные на классификации, подразумевают, что ЛПР указывает свои предпочтения, классифицируя целевые функции. ЛПР представляют текущие Паре- то-оптимальные решения и спрашивают, какие изменения в значениях целевой функции привели бы к более предпочтительному решению. Классификация интуитивный путь для ЛПР к прямому процессу получения для нахождения предпочтительных решений. У ЛПР можно также запросить желаемое количество улучшений и разрешенное количество ухудшений. С методами классификации связана идея выразить предпочтения как опорную точку. Однако классификация предполагает, что некоторым целевым функциям можно позволить ухудшиться, а опорная точка может быть выбрана более свободно.

Критерии останова в методах классификации используют опорные точки так, чтобы удовлетворение ЛПР было самым важным критерием останова. ЛПР классифицирует целевые функции fi: 1) I

чьи значения должны быть улучшены от текущего уровня; 2) I чьи значения должны улучшиться до некоторого желаемого уровня;

3)I чьи значения являются приемлемыми для текущего решения;

4)I чьи значения могут быть ослаблены до некоторого верхнего предела; 5) I чьи значения могут изменяться свободно.

155