Материал: 2488

Так как fj x fj*; j 1,...,k, то задача может быть перезаписана

k

следующим образом: min dp j fj x fj* ; x .

j 1

Произведение j fj* не изменяет ее оптимальное решение, поэто-

поэтому задача оптимизации становится

mind max j fj x fj* ; x .

1 j k

Так как fj x fj*; j 1,...,k, то задача эквивалентна задаче с ограничениями на целевые функции:

на целевые функции является единственным, то оптимальное решение – эффективное решение первоначальной MOOP.

Программирование целей. Программирование целей требует информацию предпочтения, необходимую для формирования эффективного решения. Метод требует, чтобы ЛПР установило значения цели для достижимых целей. Метод позволяет ЛПР задавать упреждающие веса на цели и определять различные уровни достижения целей.

Программирование целей основано на методе p-нормы. Пусть за-

дан (ЛПР) целевой вектор Fˆ fˆ1 fˆk . Тогда

141

k

min d1 j fˆj f j x ; х , что является задачей негладкой оп-

j 1

тимизации.

Для использования условных алгоритмов оптимизации введем переменные девиации:

Сформулируем программирование целей как

Рассмотрим минимаксный метод опорной точки, который способен к управлению предпочтениями для невыпуклых случаев. Предпо-

ложим, что требуемое значение fˆi для целевой функции fi x обес-

печено. Тогда опорная точка fˆ fˆ1, ..., fˆk T . Предполагается, что лучшее компромиссное решение то, которое является наиболее близким к опорной точке. Используя решающее правило и -норму, лучшее компромиссное решение может быть сформировано как задача

ции; ˆi – относительный вес для целевой функции fi x . Если опорная точка дана как идеальная точка лучших значений всех целевых функций, то задача редуцируется к задаче минимакса.

142

Негладкое ограничение i fˆi fi(x) d может быть заменено следующими двумя гладкими ограничениями: i fˆi fi x d и

i fˆi fi x d . Тогда задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом:

которая является гладкой задачей математического программирования.

Для того чтобы использовать более широкий диапазон предпочтений, введем переменные девиации:

di 1 fˆi fi x fˆi fi x ;

2

di 1 fˆi fi x fˆi fi x ,

2

где di – переменная девиации представляет степень достижения fi x над fˆi ; di – степень достижения fi x под fˆi . Очевидно,

di 0 и di 0, если fi x fˆi; di 0 и di 0, если fi x fˆi ; di 0 и di 0, если fi x fˆi

или, что эквивалентно,

di di fˆi fi x ;

di di fi x fˆi ; di di 0; di ,di 0.

Получаем следующую задачу с гладкими ограничениями, основанную на введении переменных девиации:

min d ; i di di d , i 1, ... ,k ; di di fi x fˆi,

143

min d ; i fi x fˆi d , i 1, ... ,k ; x .

Нечеткая логика. В нечеткой логике функция принадлежностивыражает степень правдивости утверждения в диапазоне от 0 (ложь) до 1 (истина).

В задаче оптимизации функция принадлежности дает возможность связать значение i fi x и выражает степень удовлетворения рассматриваемой цели i. Значение fi x фазифицируется значениемi для того, чтобы привести к значению в интервале {0,1}, который определяет, как хорошо решение удовлетворяет требованиям.

После фазификации значения функции принадлежности каждой цели преобразуются в логические значения, которые должны агрегироваться к одному значению для того, чтобы получить проектное значение. В двузначной логике это достигается оператором AND. В нечеткой логике оператор AND мог быть осуществлен различ-

ными правилами. Самое простое – оператор минимума: Ffuzzy x min 1 f1 x ,..., k fk x . Тогда задача нечеткой оптими-

зации: maxFfuzzy x .

Теория полезности. Функция полезности U f1 x ,..., fk x U x

– функция, которая отображает проектные значения на скаляр; Ui fi x выражает проектное значение как функцию, выраженную через fi x ; функции полезности обычно выражаются как показательные функции: Ui fi x a befi x .

Обычно предполагается, что различные функции полезности взаимно независимы. Чтобы объединить различные цели, предполагает-

оценки ЛПР, то максимизация U F x приводит к лучшему решению согласно ЛПР.

Метод функций приемлемости – целенаправленная модель оценки, которая служит тем же целям, которые используются в проектировании для оценивания характеристик каждого решения. Функция приемлемости представляет субъективную вероятность, что конструктор примет проект, основанный на каждой цели. Пусть a z – функция приемлемости, которая определяет вероятность того, как приемлемы различные уровни характеристики z; p z – функция

144

плотности вероятности, которая измеряет характеристики для z. Такая постановка позволяет конструктору измерять характеристики детерминированно или вероятностно. В детерминированном случае функция плотности вероятности – бесконечный импульс с единичной площадью. Вероятность приемлемости Pi на i-й характеристике:

k

Pi a z p z dz; полная вероятность приемлемости: Pacc Pi . То-

гда задача оптимизации может быть сформулирована как max Pacc x .

Лексикографические подходы. При лексикографических под-

ходах ЛПР определяет порядок, в котором должны быть оптимизированы цели; подразумевается, что решения упорядочены первой оценкой на основании передовой цели. Недостаток лексикографического подхода – не все цели могут быть учтены. Лексикографические методы обычно не используются самостоятельно, но используются совместно с другими методами.

3.1.2. Интерактивные методы

Интерактивные методы основаны на компромиссных решениях. Решение многокритериальных задач оптимизации обычно подразумевает поддержку ЛПР при формировании предпочтительных решений, самым предпочтительным решением является Парето-оптимальное решение. Обнаружение самого предпочтительного решения требует участия ЛПР, которое имеет понимание задачи, может определить целевую информацию предпочтения и различные варианты решений.

Винтерактивных методах формируется итерационный алгоритм,

иЛПР определяет информацию предпочтений последовательно в процессе решения. Фаза выявления предпочтения (решения) и фаза оптимизации чередуются до тех пор, пока ЛПР не найдет предпочтительных решений. После каждой итерации некоторая информация дается ЛПР и запрашивается (от ЛПР) информация об оценке предложенных решений или другой тип информации для выражения его предпочтений. Таким образом, ЛПР направляет процесс решений, и только часть Парето-оптимальных решений окончательно формируется. Кроме того, ЛПР может определить и исправить его предпочтения в процессе решений.

145