Материал: 2471

Разность соответствующих значений функции f (x) f (x0) назы-

вается приращением функции f (x) в точке x0 и обозначается y

(рис. 1.1, а, б):

Необходимо понимать, что − это не множитель, а символ, иx − не произведение на x. Символ − это прописная греческая буква «дельта», заменяющая слово «приращение».

Заметим, что приращения x и y могут быть как положительными, так и отрицательными числами (см. рис. 1.1 а, б). Так, напри-

Задачи, приводящие к понятию производной

Классическими задачами, приводящими к понятию производной, считаются задача о нахождении скорости прямолинейного движения материальной точки и задача о касательной к кривой.

1. Скорость прямолинейного движения.

Задачи о движении тел с постоянной скоростью приводят к простым арифметическим и алгебраическим расчетам, основанным на том, что путь равен произведению скорости на время, то есть по элементарной формуле S t, где S – путь, t – время, − скорость. Однако в природе мы, как правило, имеем дело с движением, скорость которого меняется с течением времени. Исследование таких движений приводит к важным физическим понятиям пути и скорости как функций времени. Здесь возникают основные понятия высшей математики – понятия производной и интеграла.

Итак, пусть материальная точка М (например, автомобиль) движется неравномерно по прямой линии (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Движение материальной точки

Каждому значению времени t соответствует некоторое расстояние ОМ S от фиксированной точки О. В нашем примере точка М

113

движется вправо от точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, поэтому мы имеем дело с функциональной зависимостью пути S от времени t. Закон движения материальной точки М выражается функцией S S t . Найдем скорость движения материальной точки. В общем случае неравномерного движения скорость не остается постоянной. С течением времени она меняется, а потому скоростьтак же, как и путь S , является функцией времени t, t ). Наша задача заключается в том, чтобы выразить эту неизвестную функцию t через известную функцию S t .

Если в некоторый момент времени t точка займет положение М, то в момент времени t t ( t− приращение времени, некоторый малый промежуток времени) точка займет положение М1 (см. рис. 1.2). При этом ОМ1 S S, то есть за время t точка М переместится на расстояние S S t t S t , ( S − приращение расстояния). При этом средняя скорость движения материальной точки М за время t

будет определяться отношением ср S .

t

Заметим, что средняя скорость зависит от значения t и с уменьшением t средняя скорость точнее выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю (малому значению) промежутка време-

ни t называется скоростью движения материальной точки в данный момент времени, или мгновенной скоростью. Обозначив эту ско-

рость через , получим

Буквы lim (начальные буквы латинского слова «limes» – «предел») обозначают предел; под ним записано, о каком именно пределе идет речь – при t 0 ( заменяет слово «стремящимся»). Чтобы понять, что означает выражение «предел» («стремление к пределу»), обратим внимание на следующее. При вычислении скорости вся суть расчета заключалась в том, чтобы «брать» малые t и соответствующие им малые S . При этом получается каждый раз вполне опреде-

ленное отношение S . Когда t уменьшается (стремится к нулю), то

t

величина S уменьшается пропорционально t, а потому отношение

114

нуля. Величина этого предела и есть мгновенная скорость t в случае, когда S − путь, а t − время.

Задача 1.1. При движении материальной точки М по прямой на-

(рис. 1.3, а). Чему равна средняя скорость движения ср на интерва-

ле от момента t до t t? Чему равна мгновенная скорость мгн в момент времени t?

Рис. 1.3, а. График функции S

1

1 t2

Рассмотрим правую часть графика при t ≥ 0, так как согласно условию задачи 1.1 t время. При t = 0 значение S = 1. При t, стремящемся к 0, предел данной функции также равен 1, поскольку функция непрерывна в точке t = 0. При увеличении t значение пути

уменьшается согласно зависимости S и стремится к нулю. По

подобной зависимости движется по прямой клапан, например, механизма газораспределения, приводимый в действие кулачком вогнутой формы.

115

Решение. Согласно изложенному выше средняя скорость движения материальной точки может быть найдена как отношение S к

t, где t приращение времени (некоторый малый промежуток

времени), S приращение расстояния (расстояние, на которое переместится материальная точка за время t), а мгновенная скорость

График полученной функции мгновенной скорости (скорости в данной точке или в данный момент времени) представлен на рис. 1.3, б.

116

задачи 1.1 функция S выражает путь, пройденный материальной точкой, а переменная t − время. Следовательно, S и t − размерные величины. Если путь S выражен в м, а время t − в с, то для соблюдения требования размерности (единиц величины) надо записать функцию

пути S в виде S a , где коэффициент a имеет размерность м с2 , b t2

а b имеет размерность c2. В нашем примере a 1 м с2 , b = 1 c2. Если рассмотреть полученную нами в результате решения задачи

2t

функцию мгн 1 t2 2 , выражающую скорость движения матери-

альной точки в момент времени t (мгновенную скорость или скорость в данной точке), то здесь также соблюдается требование размерности.

множитель останется в числителе, а время t выражено в с). Знаменатель полученной дроби имеет размерность с4 [b = 1 c2, время t выра-

жено в с, следовательно, знаменатель имеет размерность с2 2 с4 ]. После соответствующего сокращения единиц измерения мы получим

рывной на интервале a;b (рис. 1.4) (например, речь может идти о движении материальной точки М, тогда значению y будет соответствовать путь S , x − время t). Фиксируем произвольную точку х интервала a;b и рассмотрим приращение x 0 аргумента x, настолько малое, что значение x x также принадлежит интервалуa;b . Пусть М и Р – точки графика функции y f (x), абсциссы ко-

торых соответственно равны x и x. Тогда координаты точек М и Р соответственно равны: М x; f x ,P x x; f x x .

Прямую, проходящую через две заданные точки М и Р графика функции y f (x), называют секущей (рис. 1.4). Секущая прямая

117