Материал: 2373

11

2.2.Производная функции комплексного переменного. Формулы для вычисления производной

Определение. Производной однозначной функции комплексного переменного w = f(z) в точке z0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента произвольным образом стремится к нулю, то есть

Производную функции f(z) можно считать по любой из полученных выше формул

Можно показать, что производные функций zn, ez, cos z, sin z, ch z, sh z, n z, Ln z, zα находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента (в случае многозначных функций производные берут от их однозначных ветвей). Основные правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного.

12

2.3. Аналитические и гармонические функции

Определение. Функция комплексного переменного f(z), определенная в области D и дифференцируемая в каждой точке этой области, называется аналитической в области D.

Теорема. Необходимым и достаточным условием аналитичности функции

f(z) =u(x, y) +iv(x, y)

вобласти D плоскости z является существование и непрерывность частных производных первого порядка функций u и v в D и выполнение условий КошиРимана

С помощью этих условий легко проверить, является ли заданная функция аналитической.

Замечание. Из условий Коши-Римана вытекает, что производную функции f(z) можно считать также по формулам

аналитической ни в какой области комплексной плоскости.

Определение. Функция двух действительных переменных u(x,y), определенная в области D, имеющая в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа

∂2u + ∂2u = 0, ∂x2 ∂y2

называется гармонической в области D.

13

Между аналитическими и гармоническими функциями существует простая связь. Действительная и мнимая части всякой аналитической функции являются гармоническими функциями. Однако функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) , где u(x,y) и v(x,y) – произвольные гармонические в D функции, не всегда является аналитической в D. Она будет аналитической только в том случае, если функции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют в D условиям Коши-Римана. Гармонические функции u и v, связанные условиями КошиРимана, называются сопряженными.

В случае односвязной области D справедливо утверждение: любая гармоническая функция в односвязной области D является действительной (мнимой) частью некоторой аналитической функции.

2.4. Интеграл по комплексному переменному

Пусть w = f(z) – непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области D, и Г – гладкая кривая, лежащая в области

D, на которой задано направление от z0 (начало кривой) к z (конец кривой).

Разобьем Г на n частей произвольными точками z0, z1, z2,…, zn = z , лежащими последовательно на кривой Г. Составим сумму

Вычисление интеграла от функции f(z) = u(x,y) + iv(x,y) сводится к вычислению двух криволинейных интегралов от действительных функций u(x,y) и v(x,y).

Справедливы следующие свойства интегралов по комплексному переменному:

14

2. Если | f (z)| ≤ M ( z Г), то | ∫ f (z)dz |≤ M дл.Г

Г

3. ∫ f (z)dz = −∫ f (z)dz, где Г– – та же кривая Г, но направление на ней

Г− Г

от z к z0.

2.5. Ряды Лорана

Пусть ряд (1) сходится в области, определяемой неравенством |z – z0| > r, ряд (2) – в области |z - z0| < R.

Если r < R, то ряд, полученный сложением рядов (1) и (2)

n=−∞

будет сходиться в кольце r < |z – z0| < R.

Теорема. Функция f(z), аналитическая в области r <|z – z0|< R, может быть представлена в этой области рядом

∞

f (z) = ∑cn (z − z0 )n ,

n=−∞

который называется рядом Лорана для функции f(z).