Материал: 2373

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

															6
определим аргумент числа z1											(берем его главное значение):																						ϕ1 = arg z1 = −					π	,
																																						3
т.о.	z1 = 2(cos(−π ) +isin(−π )).
	3			3
	Аналогично,			r2 =		z2		=				(1)2 +12			= 2,					cosϕ2 = −									1			,	sinϕ2		=	1	.	Из
																													1							1
																												2								2
											3π																	2								2
этого следует, что ϕ2 = arg z2									=		3π			и z2	=			2(cos			3π		+isin					3π			).
этого следует, что ϕ2 = arg z2									=			4		и z2	=			2(cos					+isin					4			).
												4								4								4
	Найдем теперь z1 z2							и			z1
	Найдем теперь z1 z2							и		z2
										z2
							z		z			2	= 2 2(cos					5		π +isin					5	π),
							z		z				= 2 2(cos							π +isin						π),
								1								12								12
																12								12
		z1	=	2	(cos(−			13		π) +i sin(−							13		π)) =			2		(cos			11			π +i sin				11	π).

				2				12								12
		z2		2				12								12				2				12									12

1.3.Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа

Так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень n, известную как формула Муавра

[r(cosϕ +isinϕ)]n = r n (cos nϕ +isin nϕ).

Пример 1.2. Найти

(1−

3 i)9 .

Решение.

предыдущем

примере

мы

показали,

что

1−

3 i =

−

По формуле Муавра получаем

2 cos

+isin −

(1−

3 i)

−

[cos(−3π) +isin(−3π)] = 2

(−1

+0i) = −512.

2cos

+isin −

= 2

Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-ая степень которого равняется подкоренному числу, то есть

n r(cosϕ +isinϕ) = ρ(cosψ +isinψ).

Возведем обе части равенства в n –ую степень

ρn (cos nψ +i sin nψ) = r(cosϕ +i sinϕ).

Отсюда следует, что ρn		= r	и ψ =ϕ +2πk,	где k Z,	и, соответственно,
ρ = n r и	ψ = ϕ + 2πk ,		k Z . Таким образом,		корень n-ой степени из
	n
комплексного числа z (z ≠ 0) имеет n различных значений
n r(cosϕ +isinϕ) = n		r (cos ϕ +2πk + +isin		ϕ +2πk ),	где k = 0, 1, 2,…, n-1.
			n	n
При k = n, n + 1,… значения корня будут повторяться.
Пример 1.3. Найти		1−	3 i .
Решение. Ранее было показано, что 1−						π		π	Из
Решение. Ранее было показано, что 1−				3 i = 2 cos −			+isin −	.	Из
						3		3

последней формулы следует, что

1− 3 i = 2 cos

	π				π
−	3	+2πk		−	3	+2πk

		2	+i sin			2
		2	+i sin			2	, k = 0, 1,

откуда получаем два значения корня

						π			π			3		1			3		i
z = ( 1−	3 i )	1	=	2 cos	−		+i sin	−		=	2		−		i	=		−		,

1						6	6					2 2					2		2

								5		5π			− 3		1			3		i
z	2	= ( 1	−	3 i )	2	=	2 cos		π +i sin		=	2		+		i	= −		+		.
z		= ( 1	−	3 i )		=	2 cos		π +i sin		=	2		+		i	= −		+		.
								6		6			2		2			2		2
								6		6			2		2			2		2

Замечание. Корень n-й степени из действительного числа A, отличного от нуля, также имеет n значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме:


A =		A		(cos 0 +isin 0)	при	A > 0;

A =	A		(cosπ +isinπ)		при	A <0.

На комплексной плоскости значения корня n-ой степени из числа z представляют равностоящие друг от друга точки z1, z2,…, zn, расположенные на

окружности радиуса n r.

Пример 1.3. Найти 8 1 .

Решение. Представим 1 в тригонометрической форме

1 =1(cos0 +isin 0) . По

формуле вычисления корней из комплексных чисел вычисляем

8 1 = 8 1(cos

0 + 2πk

+i sin

0 + 2πk

) , где k = 0, 1, 2,…, 8.

Получаем

восемь

различных

значений корня (см. рис. 2)

z =1,

, z

= i,

= −

, z5 = −1,

= −

−i

, z7 = −i,

−i

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1. Понятие функции комплексного переменного

Пусть даны две плоскости комплексных чисел z = x + iy и w = u +iv и пусть комплексное переменное z принимает всевозможные значения из некоторого множества D в плоскости z.

Определение. Если каждому значению z из D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G в плоскости w, то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного w = f(z).

Если существуют значения z D, каждому из которых соответствует несколько разных значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.

Пример 2.1. Функция w = z2 является однозначной, так как каждому значению переменного z из комплексной плоскости z соответствует единственное комплексное число, равное квадрату этого значения. Найдем действительную и мнимую части w. Имеем

w = u + iv = z2 = (x + iy)2 = x2 + i2xy

следовательно, действительная часть u = x2 – y2, Вообще, если w = u + iv есть функция от

являются функциями x и y, то есть

+i2 y2 = (x2 − y2 ) + i2xy,

амнимая часть v = 2xy.

z = x + iy, то переменные u и v

u = u(x, y), v = v(x, y).

Определение. Область D, ограниченная замкнутой самонепересекающейся линией Г, называется односвязной.

Пример 2.2. Примером односвязной области в комплексной плоскости может служить круг с центром в некоторой точке z0 радиуса r, задаваемый

неравенством	z − z0	< r .

Определение.		Если область D ограничена двумя замкнутыми, не

пересекающимися и не самопересекающимися линиями Г1 и Г2, то она называется двусвязной. Область является двусвязной и в том случае, если внутренняя линия вырождается в точку или в дугу непрерывной линии.

Пример 2.3. Двусвязной областью является, например, кольцо с центром в точке z0, задаваемое неравенствами r < z − z0 < R .

Определение. Говорят, что однозначная функция w = f(z) при z → z0 имеет определенный предел А (A = a + ib), если для любого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что из неравенства z − z0 <δ следует неравенство

f (z) − A <ε. В этом случае пишут

lim f (z) = A.

z→z0

Определение. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке z0, если

lim f (z) = f (z0 ). Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D,

z→z0

называется непрерывной в этой области.

Непрерывность f(z) в точке z0 эквивалентна непрерывности функций u(x,y) и v(x,y) в точке (x0,y0).

Введем в рассмотрение функции комплексного переменного ez, sin z, cos z, sh z, ch z. Показательная функция w = ez определяется так

ez = ex+iy = ex (cos y +i sin y),

то есть w(z) =ex (cos y +isin y).

Синус и косинус комплексного переменного, а также гиперболические синус и косинус определяются по формулам

Легко видеть, что sin z и sh z связаны соотношением sh z= –i sin iz, а cos z и ch z соотношением ch z = cos i z. Справедлива формула Эйлера

eiz = cos z + i sin z,

из которой следует показательная форма комплексного числа z = reiϕ .

Известные из элементарной математики формулы

z	z		z	+z			ez1	z −z
e 1	e	2	= e 1		2	;		= e 1	2 ;
							ez2

sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ±cos z1 sin z2 ; cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2

справедливы и для комплексных значений аргументов z1 и z2.

Приведем некоторые многозначные функции комплексного переменного:

а) корень целой степени n w = n z;

б) логарифмическая функция Lnz=ln |z| + i(arg z + 2πk);

в) степенная функция zα = eαLnz (α – действительное число). Эти функции многозначны во всех точках, кроме точек z=0 и z=∞, в которых они однозначны – такие точки называют точками ветвления. Если на плоскости z провести разрез, соединяющий точки ветвления (например, вдоль положительной действительной полуоси), то можно говорить об однозначных ветвях многозначных функций.

eiz + e−iz


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных