Материал: 2373
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежская государственная лесотехническая академия»
МАТЕМАТИКА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Методические указания для самостоятельной работы студентов специальности
190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство
Воронеж 2010
2
УДК 517.53
Котко, Л. А. Математика. Элементы теории функций комплексного переменного [Текст] : методические указания для самостоятельной работы студентов специальности 190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство / Л. А. Котко, С. В. Писарева ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО
«ВГЛТА». – Воронеж, 2010. – 28 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 8 от 11 июня 2009 г.)
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики и физико-математического моделирования ВГТУ А.П. Дубровская
3
1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.1.Комплексные числа. Исходные определения
Как известно, квадратное уравнение с действительными коэффициентами не всегда имеет действительные корни. Это обстоятельство приводит, естественно, к расширению понятия о числе, к введению чисел, частным случаем которых являются действительные числа.
Определение. Комплексным числом z называется выражение z = a + ib,
где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством
i = 
−1 или i2 = −1.
Число a называется действительной или вещественной частью z и обозначается Re z, число b - мнимой частью и обозначается Im z.
Если a=0, то число 0 + ib = ib называется чисто мнимым, если b = 0, то получается действительное число a + i0 = а. Комплексные числа z = a + ib и
z =a – ib, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.
Два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 считаются равными z1 = z2, если a1 = a2, b1 = b2, то есть равны их действительные и мнимые части. В частности, z = 0, если a = 0 и b = 0.
Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости 0xy.
Любое комплексное число z = x + iy можно изобразить на плоскости 0xy в виде точки z(x,y) с координатами x и y (см. рис. 1). Обратно, каждой точке
плоскости |
соответствует комплексное число. Плоскость, |
на которой |
|
изображают |
комплексные числа, |
называется плоскостью |
комплексного |
переменного z ( на плоскости ставят символ z в кружке). |
|
||
Ось Ox, на которой расположены действительные числа, и ось 0y, на которой расположены чисто мнимые числа, называются соответственно действительной и мнимой осями.
4
С каждой точкой z(x,y) комплексной плоскости связан радиус-вектор этой
точки 0z, длина которого r называется модулем комплексного числа z и
обозначается |
| z | |
|
|
|
|
r =| z |= x2 + y2 . |
|
||
Угол φ , образованный радиусом- |
||||
вектором 0z с осью |
0x, |
называется |
||
аргументом |
комплексного |
числа z |
и |
|
обозначается |
Arg z. |
Аргумент |
φ |
|
определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2πk, где k – любое целое число. Из значений φ=Arg z выделяется главное значение arg z, удовлетворяющее условию −π < arg z ≤π.
Очевидно, что выполняется
x = r cosϕ, y = r sin ϕ.
Следовательно, комплексное число z = x + iy можно представить в виде z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
который называется тригонометрической формой комплексного числа.
1.2. Основные действия над комплексными числами
Арифметические операции над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов x1 +iy1 и x2 +iy2 , если считать i2 = –1.
Если z1 = x1 +iy1 , z2 = x2 +iy2 , то определим сумму |
(разность) |
комплексных чисел |
|
z1 ± z2 = x1 ± x2 +i( y1 ± y2 ); |
|
произведение комплексных чисел |
|
z1 z2 = (x1x2 − y1 y2 ) +i(x1 y2 + x2 y1 ); |
|
частное от деления двух комплексных чисел
5
z1 |
= |
z1 |
z2 |
|
|
= |
(x1 x2 + y1 y2 ) +i(x2 y1 − x1 y2 ) |
(z2 ≠ 0). |
z2 |
|
|
|
|
x2 2 + y2 2 |
|||
|
|
|
||||||
|
z2 z2 |
|
||||||
В результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число. Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.
Пусть комплексные числа z1 и z2 даны в тригонометрической форме
z1 = r1 (cosϕ1 +isinϕ1 ), |
z2 |
= r2 (cosϕ2 +isinϕ2 ). |
Перемножим эти числа, используя |
тригонометрические формулы |
|
cos(ϕ1 +ϕ2 ) = cosϕ1 cosϕ2 −sin ϕ1 sin ϕ2 |
и |
sin(ϕ1 +ϕ2 ) = sin ϕ1 cosϕ2 + |
+cosϕ1 sinϕ2 . Получим |
|
|
z1 z2 = r1 r2[cos(ϕ1 +ϕ2 ) +i sin(ϕ1 +ϕ2 )],
откуда видно, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
Аналогично, поделим теперь z1 на z2 , в результате получим
z1 |
= |
r1 |
[cos(ϕ −ϕ |
2 |
) + i sin(ϕ −ϕ |
2 |
)]. |
|
|
||||||
z2 |
|
r2 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
(Для проверки этого равенства достаточно умножить делитель на частное.) Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Пример 1.1. Комплексные числа z1 =1− 
3 i и z2 = - 1 + i представьте в
тригонометрической форме и найдите z1 · z2 |
|
z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и z2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Решение. |
Найдем |
модуль |
комплексного |
|
|
числа |
z1: |
||||||
r1 = |
|
z1 |
|
= (1)2 +(− |
3)2 = 2. |
Из соотношений |
cosϕ1 = |
1 |
, |
sinϕ1 = − |
3 |
|
|||
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||