Материал: 2192

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

Скорости точек тела при вращении

 

 

 

пропорциональны расстояниям от точек тела

 

 

 

до

оси

 

вращения.

 

Коэффициентом

 

 

 

пропорциональности

 

является

 

 

угловая

 

 

 

скорость. Скорости точек направлены по

 

 

 

касательным к траекториям и, следовательно,

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярны радиусам вращения.

 

 

Рис. 5.3

 

 

 

корости точек тела, расположенных

 

 

 

на отрезке прямой ОМ, в соответствии с

 

 

 

линейному

 

 

 

 

 

по

 

 

 

выражен ем

(5.12)

распределены

 

 

 

 

 

 

закону.

Векторы

 

скоростей

 

 

 

точек отрезка вза мно параллельны и их

 

 

 

концы располагаются на одной прямой,

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

проходящей через ось вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ускорен е точки М разлагаем на

 

 

 

вращательную

 

центростремительную

 

 

 

составляющ е (р с. 5.4):

aM aВ aЦ .

 

 

 

 

 

 

При

 

 

 

А

и нормальное

 

вращательном

движении

тела

касательное

ускорения точки тела называют вращательным и центростремительным и

соответственно о означают

a ,

 

a или aВ, aЦ . Вращательное и

центростремительное

ускорения

 

вычисляют по формулам

aB r ;

 

r 2

 

V 2

 

 

 

 

 

 

Д

 

aЦ

 

r

. Из рис. 5.4 полное ускорение точки М при вращении тела

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aM

aВ2

 

aЦ2

r

2 4 .

 

 

(5.13)

 

Касательные, нормальные

и

полные

ускорения точек тела, как и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

скорости, распределены по линейному закону. Они линейно зависят от

расстояний точек до оси вращения. Нормальное ускорение направлено по

радиусу r к оси вращения. Направление вращательного ускорения зависит

от знака алгебраического углового ускорения. При 0

и 0 или 0

и 0 имеем ускоренное вращение тела,

направления векторов

a и V

совпадают. Если и имеют разные знаки (замедленное вращение), то

a

и V направлены противоположно друг другу. Обозначив через угол

между полным ускорением точки и радиусом вращения, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

aВ

 

 

 

.

 

 

 

(5.14)

 

 

 

 

 

 

aЦ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол для всех точек тела является постоянным, т. к. не зависит от радиуса вращения.

186

6.ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

6.1.Уравнения плоского движения твёрдого тела

Плоским движением твёрдого тела называют

 

 

С

 

 

 

 

 

 

такое движение, при котором все точки

 

 

сечения тела движутся в своей плоскости.

 

 

 

Пусть твёрдое тело 1 совершает плоское

 

 

движен е

(р с.

6.1). Секущая плоскость П1

в

 

 

жение

П,

которое

 

 

теле 1

образует

сечение

Рис. 6.1

перемещается в секущей плоскости П1.

 

 

 

Если параллельно плоскости П1 выполнить другие сечения тела,

например через точки А2, А3

т.д., лежащие на одном перпендикуляре к

сечениям, то все эти точки и все сечения тела будут перемещаться

одинаково.

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, дв

тела в этом случае

 

 

полностью определяется движением одного из

 

 

его сечен й в какой-ли о из параллельных

 

 

 

 

А

 

плоскостей, а положение сечения – положением

 

 

двух точек этого сечения, например

и В (рис.

 

 

6.2). Положение сечения П в плоскости Оxy

 

 

определяют

положением

отрезка

В,

 

 

проведённого в этом сечении.

 

 

 

(хА, уА) и

В(хВ, уВ)

Положение

двух

точек

на

плоскости

характеризуется четырьмя параметрами (координатами), на которые

накладывают одно ограничение – уравнение связи в виде длины отрезка

АВ:

 

 

(хА – хВ)2 + (уА – уВ )2 = В2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

Поэтому положение сечения П в плоскости можно задать тремя

независимыми параметрами – координатамиДхА, уА точки А и углом φ,

который образует отрезок АВ с осью Оx. Точку А, выбранную для

определения положения сечения П, называют полюсом.

 

При движении сечения тела его кинематические параметры являются

функциями времени

хА=х(t);

уА=у(t); φ=φ(t) .

(6.1)

Уравнения

 

(6.1) являются

кинематическими

уравнениями

плоского

(плоскопараллельного) движения твёрдого тела. Теперь покажем, что в соответствии с полученными уравнениями (6.1) тело при плоском движении совершает поступательное и вращательное движения. Пусть на рис. 6.3 сечение тела, заданное отрезком А1В1 в системе координат Oxy, переместилось из начального положения 1 в конечное положение 2.

187

Покажем

два способа

возможного

 

перемещения тела из положения 1 в

 

положение 2.

 

 

 

 

Первый способ. За полюс примем

 

точку А1. Перемещаем отрезок А1В1

 

параллельно

самому

себе,

т.е.

 

поступательно, по траектории А1, А2 до

 

совмещения точек А1 и А2.

 

' . Далее поворачиваем этот отрезок

Получаем положен е отрезка А В

 

 

2

1

 

вокруг полюса А2 на угол φ и получаем конечное положение плоской

фигуры

 

'

, заданное отрезком А2В2.

 

 

Второй способ. За полюс примем точку В . Перемещаем отрезок А В

С

 

1

1 1

параллельно

самому се е,

т.е. поступательно

по траектории В1В2 до

1.Плоскоебдв жен е в полном соответствии с уравнениями (6.1) представляет со ой Асовокупность поступательного и вращательного движений, причём модель плоского движения тела можно рассматривать как поступательное движение всех точек тела вместе с полюсом и вращение тела относительно полюса.

2.Траектории поступательного движения тела зависят от выбора полюса. На рис. 6.3 в рассмотренномДслучае видим, что в первом способе движения, когда за полюс принимали точку А1, траектория поступательного движения 1 2 значительно отличается от траектории В1В2 для другого полюса В.

3.Вращение тела от выбора полюса не зависит. Угол φ вращения тела остаётся постоянным по модулю и направлениюИвращения. В обоих случаях, рассмотренных на рис. 6.3, вращение произошло против вращения часовой стрелки.

6.2.Основные кинематические характеристики плоского движениясовмещен я точек В В . Получаем положение отрезка В А . Далее

плоском движении являются: траектория движения полюса, угол вращения тела вокруг полюса, скорость и ускорения полюса, угловая скорость и угловое ускорение тела (рис. 6.4).

188

Дополнительные оси О1x1y1 при поступательном движении перемещаютcя вместе с полюсом А параллельно основным осям Оxy по траектории движения полюса. Таким образом, плоскопараллельное движение является простейшим сложным движением тела, которое выделено в самостоятельную категорию в связи с тем, что на теории плоского движения в теоретической механике строятся теории сложных движений тел и механических систем.

корость полюса плоской фигуры можно определить с помощью производных по времени от уравнений (6.1):

 

 

 

VAx

dхA

;

VAy

dyA ;

 

 

VA VAx2 VAy2 .

 

 

 

 

 

 

скорости

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

САналог чно определяют

угловые характеристики тела: угловую

скорость

 

d

; угловое ускорение

d

 

d 2

.

dt

dt

dt2

На

 

выбора

 

 

 

с. 6.5 в полюсе А показаны проекции

вектора

 

 

 

VA на оси Ox, Oy. Угол вращения

тела φ, угловая скорость ω и угловое ускорение

показаны дуговыми стрелками вокруг точки

. В

связи

с

 

независимостью

вращательных

характеристик

движения

от

 

 

 

 

полюса

угловые характеристики φ, ω, ε можно показывать

в любой точке плоской фигуры дуговыми

стрелками, например в точке В.

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.3. ТеоремаАо сложении скоростей точек тела

Для сечения плоской фигуры на рис. 6.6 точка А

принята

за

полюс. Положение

полюса

определено

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

радиусом-вектором rA , проведённым из начала

координат в точку А. Требуется установить связь

скорости точки М тела с характеристиками плоского

движения

тела.

Отрезок

AМ

 

постоянной

длины

рассматривается как вектор, определяющий положение точки М относительно полюса А.

Запишем векторное равенство rM rA AМ , где rA – радиус-вектор

полюса А; AM – радиус-вектор, определяющий положение точки М относительно полюса А. Вектор скорости точки М есть производная от радиуса-вектора rM по времени

VM drA d AM

или

VM VA VMA .

(6.2)

dt

dt

 

 

 

189

В полученном уравнении VA – скорость полюса; VMA – скорость точки М, которую она получает при вращении тела вокруг полюса А:

VMA AM

 

или VMA AM ,

где ω – угловая скорость вращения тела; – вектор угловой скорости

тела.

 

На рис. 6.6 угловая скорость ω показана дуговой стрелкой, при этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор угловой скорости перпендикулярен чертежу в точке А и

направлен от нас. Так м образом,

доказана теорема о сложении скоростей

точки плоской ф гуры.

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Скорость любой точки М тела при

скорости

 

 

 

 

 

 

 

плоском дв жен

геометрически

 

складывается

из

Сполюса скорости вращения точки М вокруг

полюса (р с. 6.7). Направление скорости VM

можно

найти

 

геометр ческим

 

построением

 

б

 

 

 

 

 

параллелограмма векторов скоростей по уравнению

(6.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр мер 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Колесо рад усом R катится

 

ез скольжения по рельсу. Скорость

 

 

 

А

центра колеса

VC . Определить скорости точек обода колеса Р, М, А, N

(рис. 6.8, а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

Решение. Запишем уравнения движения колеса для рис. 6.8:

 

 

 

хC VC t ;

yC R ;

 

xC

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

За полюс принимаем точку Р. Определим угловуюИскорость вращения

точки С вокруг полюса Р:

VC

. Теперь за полюс примем точку С и

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

применим к точке Р колеса (рис. 6.8,б) теорему о

скоростях при плоском

движении: VP VC VPC . Отметим, что VPC

CP ;

VPC R

VC

R VC .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

190

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
08 инт (Токсикология как наука)
1
1 лекция иос