Материал: 2192

5. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Простейшими движениями твёрдого тела являются поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.

Уравнение (5.1) показывает, что годограф радиуса-вектора точки В, являющийся траекторией этой точки, сдвинут по сравнению с годографом

радиуса-вектора точки А на постоянный вектор АВ. Если этот сдвиг осуществить, то обе траектории совпадут всеми своими точками. Такие траектории являются одинаковыми.

Если продифференцировать по времени уравнение (5.1), то получим

Дифференцируя по времени (5.2) и учитывая, что

181

поступательным дв жен ем. Для мгновенного поступательного движения ускорен я точек в общем случае не являются одинаковыми.

Поступательное дв жение твёрдого тела полностью определяется

кинемат

уравнен ямисвободыпоступательного движения твёрдого тела. Для описания поступательного движения твёрдого тела используют

кинемат ку точки.

движение, при которомАимеется геометрическое место неподвижных точек тела (ось вращения) в течение всего времени движения. При этом остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей

5.2. Вращательное движение твёрдого тела

5.2.1. Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называют такое его

Если А и О – неподвижные точкиДтела (рис. 5.2), то осью вращения является ось Oz. Одно направление оси Oz принимается за положительное.

через его неподвижные точки.

плоскость П1 и подвижную плоскость П2 , котораяИ может быть совмещена с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе плоскости

Через ось вращения проведём неподвижную

совпадают. Тогда в момент времени t положение вращающегося тела можно определить двугранным углом φ между плоскостями (рис. 5.2).

Угол φ называют углом поворота тела (угловой координатой).

Положение вращающегося тела в момент времени t задают уравнением

182

где f t – любая дважды дифференцируемая функция времени.

Это уравнение называют уравнением вращения твёрдого тела вокруг

неподвижной оси.

Тело, совершающее вращение вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра – угла φ. Угол φ в уравнении (5.5) задают в радианах. Угол φ считают положительным, если, смотря навстречу принятому

направлен ю оси Oz, мы видим вращение тела, происходящее против часовой стрелки. Пр знаком вращательного движения тела является то,

окружностямиАлгебра ческой угловой скоростью тела в какой-либо момент времени

называют первую про зводную по времени от угла поворота. Она является

Драд/с.

Втехнике частоту вращения n тела выражают в оборотах в минуту. Связь частоты вращения n с угловой скоростьюИимеет вид. (5.8)

183

рассматриваемый момент времени в положительную сторону (против часовой стрелки). При 0 0, т. е. ускоренное вращение совершается

в отрицательную сторону.

Угловую скорость и угловое ускорение на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения. Дуговая стрелка для угловой скорости указывает направление вращения тела (см. рис. 5.2).

Для ускоренного вращения дуговые стрелки для угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые направления, для замедленного – их направлен я прот воположны.

Следует отметить совпадение структур формулы (11.29) равномерного движения точки и равномерного вращения тела (5.9).

Равнопеременным называют такое вращение твёрдого тела, при

184

Отметим совпадение структур формул (4.30), (4.31) равнопеременного движен я точки (5.10), (5.11) равнопеременного вращения тела.

вследств е увел чен я нагрузки упала в течение 4 с до 80 рад/c.

Выч сл ть угловое ускорение , считая его постоянным, а также оборотов N, совершённых двигателем за это время.

каждой точки тела радиус вращения остаётся неизменным при вращении

185