Материал: 2039

Однако это справедливо, пока уменьшение концентрации при откачке газа сопровождается увеличением длины свободного пробега. Когда же длина l свободного пробега сравняется с расстоянием между стенками термоса L, тогда её рост прекращается, поскольку величина l ограничена размером L.

Таким образом, теплопроводность воздуха при откачке начнёт уменьшаться при достижении условия l = L.

Как видно из полученной формулы, давление р, начиная с которого теплопроводность воздуха уменьшается при откачке, зависит от расстояния L между стенками сосуда и от температуры.

Проверка по наименованию единиц:

Термодинамика

Пример 11. В результате изобарного нагревания азота массой

1,4 кг его температура повысилась с 17 до 37 °С. Рассчитать: 1) молярную теплоёмкость газа; 2) изменение энтропии; 3) изменение внутренней энергии; 4) количество теплоты, переданное газу в данном процессе.

135

янном объёме, CV = 2i R, где i – число степеней свободы молекулы,

можно вывести на основании теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы.

Двухатомная молекула азота (N2), кроме трёх степеней свободы поступательного движения, имеет ещё две степени свободы, ответственные за вращательное движение: i = 3 + 2 = 5.

только от температуры, поэтому, когда известны начальная Тнач и конечная Ткон температуры, её изменение U = Uкон – Uнач вычисляется для всех процессов по одной и той же формуле

U = 2i R ν (T кон−T нач) , или U = CV T кон−T нач ,

где ν = m/M– количество вещества; М – молярная масса.

Количество вещества в данном примере ν = 0,0281,4 ; ν = 50 моль,

а изменение внутренней энергии

U =20,8 Дж/(моль К) 50моль (310−290)К=20,8 103 Дж . Количество теплоты, переданное газу, можно подсчитать двумя

способами.

Способ 1. На основе первого закона термодинамики имеем

Q = A + U.

В случае изобарного процесса (р = const), когда известны начальная и конечная температуры, формулу работы газа А = p∙ V следует, используя уравнение состояния pV = νRT => p∙ V = νR∙ T,

преобразовать к виду А = ν·R∙ T .

Работа в данном процессе А = 50·8,31·20Дж = 8,3 кДж. Количество теплоты Q = 8,3 кДж + 20,8 кДж ≈ 29 кДж.

136

Способ 2. Из определения C= ν Q T молярной теплоёмкости

следует формула для расчёта количества теплоты Q = C∙ν·ΔT.

Так как в данном случае p = const, то Q = Cp∙ν·ΔT, где Ср = СV + R

– молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении; ν – количество вещества; Т – изменение температуры; СV – молярная теплоёмкость при постоянном объёме; Ср = (20,8+8,31) Дж/(моль·К).

Таким образом, Q = 29,1·50·20 Дж ≈ 29 кДж, что совпадает со

Пример 12. Рассчитать работу сил давления газа, изменение

внутренней энергии и количество подведённого тепла в процессах: а) изотермического расширения; б) адиабатного расширения двухатомного газа. Количество газа 0,5 кмоль. Начальные параметры: температура 37 °С; давление 500 кПа. Объём газа увеличивается вдвое.

137

Работа сил давления газа рассчитывается по формулам: а) в изотермическом процессе (Т = const) А = ν∙R∙T·ln(V2 /V1);

Количество теплоты, переданное газу в изотермическом процессе равно работе, Q = А, что следует из первого закона термодинамики: Q = А + U, где U = 0, поскольку Т = 0.

Для нахождения работы в адиабатном процессе, как и для нахождения изменения внутренней энергии газа, нужно знать величину (T нач−T кон). Начальная температура, Тнач = Т1, известна, а

конечную, Tкон = T2 , найдём, воспользовавшись уравнением адиабаты p∙Vγ = const.

Чтобы найти взаимосвязь объёма и температуры, выразим

давление из уравнения состояния p = ν∙ R∙T и, подставив в

V

138

Пример 13. Определить КПД теплового двигателя, работающего по заданному циклу из четырёх изопроцессов (рис. 46).

Рабочее тело – двухатомный газ в количестве ν = 0,05 моль. Данные, необходимые для расчётов, указаны на диаграмме.

где Ацикла – суммарная работа сил давления газа во всех процессах цикла; Qподв – сумма количеств теплоты в тех процессах, где теплота

подводится.

Механическую работу, совершённую рабочим телом в ходе всего цикла, можно вычислить двумя способами:

1)как сумму работ в процессах цикла: Ацикла = Аab + Аbc+ Аcd + Аda;

2)как сумму количеств теплоты: Ацикла = Qподв + Qотв = |Qподв| – |Qотв|, так как изменение внутренней энергии за цикл равно нулю.

Суммирование работ и количеств теплоты производится с учётом знака этих скалярных величин. Знак величины А в том или ином

Т = const, – Аb−c=ν R T b ln(V c /V b). При V = const (процесс c – d) работа не совершается, Ac–d = 0. В процессе d–a (Т = const) работа газа

вычисляется аналогично, как это сделано для процесса b–c. Изменение внутренней энергии рассчитывается одинаково для

газа; i = 5 для двухатомных молекул; i = 6, если молекула газа состоит из трёх и более атомов. Очевидно, U > 0, если Т > 0.

Количество теплоты, переданное газу, можно подсчитать двумя способами:

1) на основании первого закона термодинамики Q = A + U;

2)по формуле Q = C∙ν∙ T, где С – молярная теплоёмкость газа;

ν– количество вещества; Т – изменение температуры.

139