Материал: 1798

41

Точка тела, скорость которой в данный момент равна нулю,

называется мгновенным центром скоростей, или мгновенным центром вращения.

Линейная скорость любой точки тела (круга) в каждый момент времени равна произведению угловой скорости тела (круга) на радиус данной точки от центра вращения и направлена перпендикулярно этому радиусу в сторону вращения тела (круга):

vC r ; vE 2r ; vM AM

и т.д. Скорости точек, принадлежащих прямой AE (диаметру), вписываются в треугольник AEK, т.к. на основании подобия треугольников

vC vM vE tg . r AM 2r

Определить угловую скорость колеса и скорости точек B, D, E (рис.

2.11).

Р е ш е н и е

Угловую скорость определим по формуле (2.33)

Радиус точки Е относительно точки А равен диаметру колеса, то есть 2r, поэтому линейная скорость точки Е

vE 2r 2 2 1 4 м/с .

Радиусы точек B и D определятся из прямоугольных равнобедренных треугольников ABC и ACD:

AB AD r2 1,41 м .

Теперь найдём линейные скорости точек B и D

vB vD AB r2 2,82.

Пример 2. Определить (рис. 2.12) скорость подъема груза G, если скорость подъема каната 1, поднимающего блок 2 vE 16 м/мин, а радиус блока r 0,1 м.

42

Р е ш е н и е

Канат 1 переброшен через блок 2 и закреплен другим концом в точке В. Ветвь каната АВ неподвижна, поэтому блок 2 катится по неподвижной ветви каната АВ как по рельсу, аналогично кругу на рис. 2.11.

Радиус точки Е относительно точки А равен диаметру блока 2r. Определим угловую скорость блока (vE

16 м/мин 2,67 м/с).

Точка С будет подниматься вместе с грузом G. Скорость точки С, то есть скорость подъема груза, равна

vC r 1,33 0,1 0,133 м/с 8 м/мин.

Рис.2.12

3. ДИНАМИКА

3.1.Основные понятия и аксиомы динамики

Раздел теоретической механики, в котором устанавливается и изучается связь между движением тел и действующими на них силами, называется динамикой.

Вдинамике решаются две основные задачи:

1.Прямая задача. По известным действующим на тело силам определяются параметры движения тела.

2.Обратная задача. По известному закону движения тела определяются силы, действующие на него.

Примеры. 1. Полет снаряда. Даны силы F и G. Определяются траектория, скорость, ускорения (прямая задача).

2.Движение поезда. Заданы путь, скорость, ускорение. Определяются силы (обратная задача).

Воснове динамики лежат законы Ньютона, опубликованные в его “Математических началах натуральной философии” в 1687 г.

43

Эти законы являются аксиомами динамики и объективными законами природы, которые были установлены на основании многочисленных опытов и наблюдений Ньютона и его предшественников.

Первая аксиома (I закон Ньютона) – закон инерции: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит этого состояния.

Свойство материальной точки или тела сохраняет постоянство скорости v const (v 0) и называется инертностью или инерцией.

Движение материальной точки или тела, не подвергающихся воздействию сил, называется движением по инерции.

Если скорость тела v 0, то это состояние покоя или статического равновесия. Если скорость тела v 0, но v const, то это состояние

динамического равновесия.

Вторая аксиома (II закон Ньютона) – основной закон динамики:

ускорение, сообщаемое материальной точке (или телу), приложенной к ней силой, пропорционально модулю силы и совпадает с ней по направлению.

Основное уравнение динамики имеет вид

Все физические величины, входящие в формулу (3.1), имеют самостоятельное определение. Определение силы F описано в статике, определение ускорения а – в кинематике. Опишем массу материальной точки m. Анализируя формулу (3.1), мы видим, что при увеличении массы нужно для разгона тела до одного и того же ускорения приложить большую силу. Чем больше масса, тем труднее вывести ее из состояния покоя или движения по инерции, например остановить катящийся по инерции вагон. Поэтому массу определяют как меру инертности тела.

Частный случай основного уравнения динамики:

из которого определяют массу

где m – масса тела; G – вес тела; g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения тел в пустоте.

За единицу массы в СИ принят килограмм (1 кг), который согласно формуле (3.3) равен

44

Третья аксиома (III закон Ньютона) – закон равенства действия и противодействия: действию одного тела всегда соответствует равное ему и противоположно направленное противодействие другого тела, то есть действие двух тел друг на друга всегда равны и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Эта аксиома соответствует 5 аксиоме статики.

Четвертая аксиома – принцип (закон) независимости действия сил: при одновременном действии на материальную точку нескольких сил они сообщают ей ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые точка получила бы при действии каждой из этих сил в отдельности.

В самом деле, F1 m a1 ; F2 m a2 и т.д. Тогда

ma=ma1+ma2+ma3+…+man . (3.5)

Формула (3.5) показывает, что равнодействующее ускорение, если сократить формулу (3.5) на m, равно геометрической сумме ускорений

a=a1+a2+a3+…+an . (3.6)

Ускорения a1, a2 и т. д. материальная точка получает от действия сил F1 и F2 и т.д. Сравнивая уравнения (3.4), (3.5) и (3.6), видим: равнодействующее ускорение a (формулы (3.5) и (3.6)) то же самое ускорение, что ускорение a, которое создает

равнодействующая сил P (формула (3.4)). На рис. 3.1 показано, что вектор

равнодействующего ускорения а, полученный геометрическим сложением ускорений a1 + а2 + a3 + an, совпадает по направлению с равнодействующей Р, которая является геометрической суммой сил F1 + F2 + F3 + F4 = Р.

Основной закон динамики, при условии действия на материальную точку нескольких сил, можно записать в общем виде