Материал: 1798

31

Переходя к пределу при t 0, т.е. приближая бесконечно точку А1 к точке А, найдем вектор истинного ускорения

Вектор ускорения а характеризует как изменение численного значения скорости, так и изменение ее направления.

По аналогии можно записать

где аt – вектор касательного или тангенциального ускорения, которое изменяет численное значение скорости; аn – вектор нормального или центростремительного ускорения, которое всегда направлено по радиусу к центру дуги и оно изменяет направление скорости.

В дифференциальной форме уравнения (2.6) и (2.8) запишутся в

виде

Если кривую а – а на рис. 2.5 и 2.6 выпрямить, то тогда тангенциальные сос-тавляющие v = vt; а = аt, а нормальные состав-ляющие vn = 0; аn = 0.

Рис.2.6

32

2.2.Равнопеременное движение

2.2.1.Прямолинейное движение

Неравномерное движение с постоянным ускорением называется

равнопеременным.

Пусть материальная точка движется прямолинейно вдоль оси ОX от точки А, которая соответствует начальному положению t0 = 0. Путь в

Путь, скорость и ускорение - величины алгебраические. Они могут иметь положительное и отрицательное значения. Отрицательное значение пути показывает, что он отмеряется влево по рис. 2.7. Отрицательная скорость означает, что она направлена влево по рис. 2.7. Отрицательное ускорение означает, что движение материальной точки равнозамедленное. Если v = 0, то точка останавливается. Если а = 0, то движение равномерное.

Ускорение точки в дифференциальной форме имеет вид

a dvdt .

Откуда приращение скорости

dv = a d t .

Интегрируя в пределах от t0 до t, получим

v t t

Подставив значение v в уравнение (2.11), получим

33

ds = v0 dt + at dt .

Проинтегрируем

s t t

ds υ0 dt a t dt .

Уравнения (2.11) и (2.13) являются основными уравнениями равнопеременного прямолинейного движения. Из уравнения (2.11) можно определить ускорение

Средняя скорость определяется как среднее арифметическое между начальной и конечной скоростями

Пример. Задан закон движения материальной точки. Заданное

уравнение имеет вид

s = 5 – 9t + 3t2 .

Определить скорость и ускорение материальной точки и проанализировать уравнения.

Проанализируем заданное уравнение. В начальный момент t0 = 0. Подставив значение t0 в заданное уравнение, получим

s = s0 = 5 .

Продифференцировав заданное уравнение, получим

Проанализируем уравнение (2.14). В начальный момент при t0 = 0 скорость v0 = 9, т.е. скорость отрицательна. Это говорит о том, что в начальный момент точка двигалась назад в отрицательном направлении. Приращение скорости 6t = v – положительное, поэтому должен наступить момент, когда скорость станет равной нулю, т.к. сравняются отрицательная начальная скорость v0 и приращение скорости v. Если в уравнении (2.14) скорость приравнять нулю, то получим

v = v0 + v = 9 + 6 t = 0 ;

откуда

Во время движения tс материальная точка остановится в положении С, т.к. ее скорость станет равной нулю, а затем начнет двигаться в положительном направлении, т.к. в уравнении (2.14) положительное приращение скорости v = 6t будет больше по величине отрицательной начальной скорости v0 = 9. Например, в момент, когда t = 2c, скорость v = 9 + 6 2 = + 3.

Чтобы определить ускорение, нужно продифференцировать уравнение (2.14)

Построим графики пути, скорости и ускорения в координатах tOs; tOv и tOa в соответствии с уравнениями

s = 5 9t + 3t2 ;

v = 9 + 6t ; (2.13, 2.14, 2.16) a = 6 .

Построение начинаем с определения опорных точек. В начальный момент времени (рис. 2.8):

путь s0 = 5 соответствует точке А;

скорость v0 = 9 соответствует точке А' ;

ускорение а = 6 соответствует точке А''.

На графике пути видно, что материальная точка из положения А (ордината Os) начинает двигаться в отрицательном направлении до точки С1. При этом скорость благодаря положительному ускорению возрастает

35

от положения А' до положения С', в котором скорость vс = 0 и материальная точка остановится. Время, соответствующее этой точке, равно tс = 1,5. Подставив это время в уравнение (2.13), получим

sc = 5 – 9 · 1,5 + 3 ·1,52 = 1,75 .

Откладываем расстояния tс и sс на графике пути и получаем точку C, а на графике скорости для времени tc = 1,5 намечаем точку С', соответствующую скорости

vс = 0.

Уравнение (2.14) первой степени, поэтому график скорости – прямая линия, для проведения которой достаточно иметь две точки А' и С'.

Уравнение (2.16) есть константа, поэтому график параллелен оси абсцисс и для его построения достаточно иметь одну точку А".

Уравнение (2.13) второй степени описывается параболой, для построения которой нужно больше точек. При движении из начального положения А (s0 = 5) материальная точка проходит через начало координат и из положительной области заходит в отрицательную область, т.е. проходит через положение О. Приравняв нулю уравнение

(2.13), получим

s = 5 9t + 3t2 = 0 .

t 9 92 4 3 5 ;

2 3

tB = 0,74; tD = 2,26; sB = sD = 0 .

На графике пути отмечаем точки В и D.