Материал: 1798

96

Если в закон Гука подставить значения = F / S и = l / l, а затем решить его относительно l, то получим

По этой формуле проводят расчеты на жесткость. Произведение ES

называют жесткостью сечения.

Жесткость стержня, как и жесткость пружины, выражается отношением силы к величине деформации; если обозначить жесткость стержня буквой j, то получим

Из формулы (8.7) видно, что жесткость стержня – это отношение жесткости сечения к длине стержня.

Жесткость – это мера упругости тела. Она выражается конкретным числом, поэтому упругость количественно определяется (оценивается) жесткостью. Чем больше j, тем меньше l.

Для сравнения жесткости двух стержней, имеющих разные размеры и изготовленных из разных материалов, их сравнивают по величине жесткости j.

Условием равной жесткости является равенство

растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций – величина постоянная, т.е.

n . (8.9)

Величина называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона.

8.2. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Если известны внешняя сила F и площадь поперечного сечения S, то напряжение в стержне определяется по формуле (7.2). Затем это напряжение сравнивают с допускаемым. При этом должно выполняться неравенство

97

Смысл условия прочности заключается в том, что расчетное (рабочее) напряжение не должно превосходить допускаемого напряжения [ ].

С помощью формулы (8.10) можно производить три вида расчетов.

1.Проверочный расчет, который подразумевает проверку условия прочности детали по формуле (8.10) [ ].

Проверочный расчет выполняют, когда машина или узел спроектирована и известны размеры деталей и силы, действующие на них. Цель расчета – убедиться в прочности деталей.

2.Проектный расчет. Когда проектируется машина или узел, то встает вопрос определения размеров деталей в зависимости от величины действующих на них сил. В этом случае в формуле (8.10) известны сила F

идопускаемое напряжение [ ]. Требуется определить размеры поперечного сечения детали. Решив неравенство (8.10) относительно S, получим

Если стержень круглого сечения, то

Подставив значение площади в формулу (8.11) и решив его относительно диаметра d, получим

По этой формуле определяют диаметр растянутого стержня.

3. Определение предельной силы. Для сравнения прочности стержней разного диаметра и изготовленных из разных материалов или для определения наибольшей нагрузки, которую может выдержать стержень, рассчитывают предельную силу по формуле

Прочность детали – это способность не разрушаясь, сопротивляться действию внешних сил. Детали считаются равнопрочными, если они выдерживают равные предельные силы, т.е.

где Fпр1 и Fпр2 – предельные силы 1-го и 2-го стержней; [ ]1 и [ ]2 – допускаемые напряжения 1-го и 2-го стержней; S1 и S2 – площади поперечного сечения 1-го и 2-го стержней.

98

8.3. Расчеты на жесткость при растяжении

Много задач посвящено растяжению стержней.

При этом нужно сравнивать их деформации.

Рассмотрим три типа задач, где сравниваются прямо или косвенно два стержня изготовленных из различных материалов.

Рис.8.2

В этих задачах два стержня имеют одинаковое удлинение l = l1 = l2.

Задачи первого типа, в которых l1 = l2; F1 = F2; l1 = l2. Применив формулу (8.6), запишем

где F1 и F2 – силы, растягивающие стержни 1 и 2, Н; l1 и l2 - длина стержней 1 и 2, мм; S1 и S2 – площади поперечного сечения, мм2; E1 и E2 – модули упругости стержней, МПа (Н/мм2).

Поскольку числители этих дробей равны, их можно переписать в

виде

т.е. два стержня имеют равную жесткость сечений. Если из четырех параметров формулы (8.18) известны любые три, то можно определить четвертый.

Задачи второго типа, в которых l1 = l2; F1 = F2. Сократив в формуле (8.17) силы F1 = F2, получим

т.е. два стержня имеют равную жесткость. Если из шести параметров определены пять, то шестой можно вычислить по формуле (8.19). Например, если в системе (рис.8.2) сила F приложена посередине, т.е. a =l/2, то сила в стержне 1 равна силе в стержне 2 (F1 = F2) и задача решается по формуле (8.19).

Задачи третьего типа, в которых l1 = l2. Эти задачи решаются по формуле (8.17).

Нужно отметить, что в задачах силы могут быть не заданы в явном виде. Тогда задачу нужно решать вначале методом статики, составляя одно

99

или два уравнения статики в дополнение к уравнению (8.18), а затем решать систему уравнений.

Например, сила F (см. рис.8.2) растягивает стержни 1 и 2. При этом после растяжения стержней абсолютно жесткий брус АВ остается горизонтальным. В этой задаче нужно силы F1 и F2 в стержнях 1 и 2 выразить через силу F, применяя уравнения моментов

задана, то после подстановки в формулу (8.17) сил F1 и F2, рассчитанных по формулам (8.20) и (8.21), сила F сократится и останутся геометрические параметры l и a.

Разные задачи на растяжение с применением формулы (8.6) предполагают применение уравнений статики. Вариантов этих задач много. Поэтому для их решения необходима элементарная смекалка студента.

9.СДВИГ И СМЯТИЕ

9.1.Понятие о сдвиге и смятии

Рис.9.1

Пусть листы 1 и 2 (рис.9.1, а) стянуты заклепкой 3. К листам приложены силы F, которые сдвигают их в разные стороны. Вместе с листами силы стремятся сдвинуть верхнюю половинку заклепки относительно нижней (рис.9.1, б). Листы давят на заклепки, и в местах контакта возникают напряжения смятия см . В плоскости ав заклепок, которая соответствует стыку листов, создается деформация сдвига. Если мысленно разделить две половинки заклепки (см. рис.9.1, б), то на разделенных торцах заклепок по линии ав будут действовать касательные напряжения . Так как каждая половинка находится в равновесии под действием сил, то должно соблюдаться равенство

Соединительные детали: заклепки, болты, шпонки и другие работают в таких условиях, когда внешние силы действуют на материал в параллельных плоскостях, в противоположных направлениях, на весьма малом расстоянии одна от другой. Под действием сил F верхняя половинка заклепки сдвигается относительно нижней. В очень тонком слое металла ав (рис.9.2,а) при сдвиге частицы металла плоскости 1-1 сдвигаются относительно плоскости 2-2. При этом на границах слоев 1-1 и 2-2 возникают касательные напряжения.

Вырежем из тонкого слоя ав элемент cdef и рассмотрим его. Сдвиг, при котором материал равномерно смещается в поперечном слое ав и при котором возникают только касательные напряжения , называется чистым сдвигом. Величину ее' наибольшего смещения частиц материала по отношению к их первоначальному положению называют абсолютным сдвигом (рис.9.2, б). Это есть абсолютная деформация сдвига.

Отношение абсолютного сдвига ee' к грани fe' называется относи-тельным сдвигом, т.е.

Рис.9.3