Материал: 1740
81
2) значениями всех коэффициентов взаимной корреляции сигналов S1 (t),..., SM (t)
T
Si (t)S j (t)dt
|
|
0 |
|
|
|
, i |
j, |
(5.2) |
ij |
|
|
|
|
||||
T |
T |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S 2 |
(t)dt S 2 |
(t)dt |
|
|
||
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
где i,j=1, 2,…,M .
Необходимо отыскать алфавит сигналов, наилучший с точ-
ки зрения указанных показателей (минимум всех |
ij |
при фик- |
||
|
|
|
|
|
сированном q2). |
|
|
|
|
Наименьшее возможное значение |
ij |
1, |
в этом случае |
|
|
|
|
|
|
число сигналов M равно двум, и S1 (t) 
S2 (t) . Это – система с противоположными сигналами (фазовая манипуляция на 180о).
При числе сигналов М>2 невозможно сделать все |
ij |
1 . |
|
|
В.А. Котельников показал, что оптимальной системой, требующей минимальной средней мощности передатчика, является при М>>1 система равноудаленных друг от друга сигналов, имеющих равные энергии. Для них коэффициент корреляции
1 |
|
|
1. |
(5.3) |
|
|
|
ij |
|||
M 1 |
|||||
|
|
||||
|
|
|
|||
При М>>1 к оптимальным приближаются системы ортогональных сигналов, для которых
|
E, |
i |
j, |
(5.4) |
|
ij |
0, |
i |
j, |
||
|
|||||
|
|
где E – энергия каждого из сигналов.
2.2. Ортогональные двоичные коды
На практике широкое применение получили ортогональные сигналы, формируемые из двоичных противоположных символов 0 и 1.
82
Назовем бинарным кодом B(t)={b1, b2,…, bn} последовательность n элементарных прямоугольных импульсов длительностью 
T / n , где Т – длительность кодовой комбинации. Амплитуды элементарных импульсов b1, b2,…, bn принимают значения только 0 или 1 (или минус 1 и плюс 1).
Кодовые комбинации представляют векторами n-мерного линейного пространства (пространства Хэмминга). Тогда геометрической моделью n-значного кода является n-мерный куб с ребром, равным 1, каждая вершина которого представляет одну
из возможных кодовых комбинаций. Число вершин M |
2n . |
||||
|
|
|
На рис. 5.1 представлена гео- |
||
010 о |
о 110 |
|
метрическая модель трехзначного |
||
|
|
|
двоичного кода. |
|
|
011о |
о 111 |
|
Расстояние |
между |
двоичны- |
000о |
100 |
|
ми векторами x и y в n-мерном |
||
о |
x |
пространстве Хемминга |
выража- |
||
|
|
||||
|
|
|
|||
001 о |
о 101 |
|
ют числом знаков, в которых они |
||
|
отличаются друг от друга |
||||
z |
|
|
|||
Рис. 5.1 – Геометриче- |
|
n |
|
|
|
ская модель трехзначно- |
dxy |
(xk yk ) (5.5) |
|||
го двоичного кода |
|
k |
1 |
|
|
Наименьшее для данного кода значение d называют его ко- |
|||||
довым расстоянием dк |
min dij . Кодовые комбинации |
||||
|
|
i |
j |
|
|
Bi (t) |
bi1,bi 2 ,..., bin |
, Bj (t) bj1, bj 2 ,..., bjn |
, |
||
T
удовлетворяющие условию Bi (t)Bj (t)dt 0,
0
называются ортогональными на интервале (0-Т). Ортогональные коды представляют собой равноудаленные
сигналы с одинаковой энергией. Геометрическим образом такого кода являются, например, точки на координатных осях.
В трехмерном случае (рис. 5.1) комбинациями ортогонального кода являются векторы 100, 010, 001. Здесь число кодовых комбинаций М=n, сигналы обладают равной энергией.
83
Геометрически это означает, что все точки, соответствующие кодовым комбинациям, находятся от начала координат на одинаковом расстоянии, равном единице.
Нормированная корреляционная функция цифрового сигнала B(t), которому соответствует n-мерный вектор b, определяется следующим выражением
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
b |
( j) |
|
|
bibi |
j , |
|
(5.6) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|||
где величина сдвига j – целое число ( |
(n |
1) |
j (n 1) ). |
||||||||
Например, если b=(1,-1,-1,1), то |
|
|
|
||||||||
b ( |
3) |
1 |
1 1 ( |
1) 1 ( |
1)( 1) |
1 ( |
1) |
0; |
|||
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b ( |
2) |
1; |
b ( 1) |
|
|
0; |
b (0) |
1. |
|
||
При построении систем связи используются двоичные векторы, символы которых не обязательно равны +1 и –1. В этом случае более общим является определение величины ρ в виде
|
|
|
nсовп |
nнесовп |
, |
|
|
(5.7) |
|
|
|
ij |
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
nсовп – число поэлементных совпадений; |
|
|||||||
|
nнесовп – число поэлементных несовпадений; |
|
|||||||
|
n= nсовп+ nнесовп – длина кодовой комбинации. |
|
|||||||
|
Так как dij nнесовп , то коэффициент корреляции двух ко- |
||||||||
довых комбинаций в соответствии с (5.7) |
|
||||||||
|
|
(n dij ) |
dij |
1 |
|
2dij |
|
(5.8) |
|
|
ij |
|
n |
|
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
представляет собой отношение разности между числом позиций с совпадающими знаками ( n dк ) и числом позиций с отли-
чающимися знаками dк к общему числу позиций n. Т.к. две ортогональные кодовые комбинации имеют ij 0 , это значит,
что они имеют половину символов одинаковых и половину разных. Этот факт может быть взят за основу при конструировании ортогональных кодов.
84
Ортогональные коды представляют в виде таблиц или матриц. В двумерном пространстве ортогональные коды есть 00 и 01. Для n=4 кодовая таблица ортогональных кодов получается из исходных сигналов 00 и 01 следующим образом:
1)сигнал 00 записывается дважды в первый столбец;
2)сигнал 01 записывается дважды во второй столбец;
3)сигнал 00 записывается в третий столбец, а под ним – сигнал ему противоположный 11;
4)сигнал 01 записывается в четвертый столбец, а под ним – противоположный ему сигнал 10. Таблица (матрица Адамара) при этом имеет вид:
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
. |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Биортогональные коды
Биортогональным называют набор сигналов, включающий некоторую совокупность ортогональных сигналов и все сигналы, им противоположные. Например, из таблицы четырех ортогональных сигналов получим следующие биортогональные коды:
1) |
1 |
1 |
1 |
1 |
; 5) |
1 |
1 |
1 |
1 |
; |
|
2) |
1 |
1 |
1 |
1 |
; 6) |
1 |
1 |
1 |
1 |
; |
|
3) |
1 |
1 |
1 |
1 |
; |
7) |
1 |
1 |
1 |
1 |
; |
4) |
1 |
1 |
1 |
1 |
; |
8) |
1 |
1 |
1 |
1 . |
|
Здесь каждый код ортогонален всем остальным ( |
ij |
0 ), |
|
|
кроме одного, для которого он является противоположным (на-
пример, |
15 |
1 ). Используя n двоичных символов, можно по- |
|
|
строить M 2n биортогональных сигналов.
85
Биортогональные коды (их еще называют кодами РидаМалера) образуют класс линейных блочных (n, k)-кодов, задаваемых порождающей матрицей G.
Коды Рида-Малера задают двумя параметрами – целыми
положительными числами a и m, где m |
3, |
a<m – порядок ко- |
|||
|
|
|
|
a |
|
да. При этом n 2m – длина кодовой комбинации; |
k |
Ci |
– |
||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
количество информационных разрядов, |
dk |
2m a |
– |
кодовое |
|
расстояние.
Для а=1 (коды Рида-Малера первого порядка) порождающая матрица
gm+1
gm
G...
g1
g0
состоит из двух блоков. Первая строка gm +1 содержит одни единицы. Столбцы блока gm , gm-1 , ..., g1 , g0 – это всевозможные
m-разрядные двоичные числа, включая и нулевое число. Правило построения множества кодовых комбинаций ли-
нейного блочного кода дается формулой
v = aG, |
(5.9) |
где a ak ak 1...a1a0 – вектор-строка входного сообщения (рав-
номерный безызбыточный код);
v – вектор выходного сигнала (линейного блочного кода). Таким образом, векторы биортогонального кода могут быть
получены путем линейной комбинации строк порождающей матрицы.
Приведем пример построения биортогонального кода.
Задана порождающая матрица биортогонального кода: