Материал: 1312

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вид гистограммы свидетельствует о том, что исследуемая нами выборка не соответствует нормальному закону распределения.

Видно значительно большую, чем у соседних, частоту для четвертого интервала и необоснованные провалы (нулевые частоты) в середине ряда. В рядах измерений присутствует значительная систематическая погрешность измерений: 48 значений из 60-ти имеют знак «минус», а это 80% от всех измерений. В соответствии с одним из свойств случайных погрешностей положительных и отрицательных погрешностей должно быть поровну. Можно считать, что полученные результаты не подчиняются закону нормального распределения. Для подтверждения этого утверждения выполним соответствующие расчеты.

							И
	6.3. Расчет статистических характеристик вариационного ряда
				истинных погрешностей
			Средние величины характеризуют значения признака, вокруг
которого концентрируются наблюдения, или, как говорят, централь-
ную тенденцию распределения. Наиболее распространенной из сред-
них величин является среднее арифметическое.
			Наиболее точно соответствие нормальномуД					закону распределе-
ния выборки будет характеризовать значение критерия Пирсона.
			Для вариационного рядаАнеобходимо рассчитать следующие
характеристики: среднее ар фметическое x , дисперсию S2, среднее
квадратическое отклоненбе σ (табл. 28).
			Средней арифмет ческой вариационного ряда называется сумма
произведений всех вариантови					на соответствующие частоты, деленная
на сумму частот:
			С		x =	[x n]	;
					x =	[n]	;
x =			(−100 2) + (−80 15) + (−60 0) + (−40 21) + (−20 5) + (0 5) + (20 10)						+
		(40 0)+ (60 2)				60
+		(40 0)+ (60 2)		′
				′
			60	= −34,8 .
			60

Дисперсией вариационного ряда называется среднее арифметическое квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:

S 2 =

[(xi

−)2 n];

[n]

(−100 + 34,8) 2 + (− 80 + 34,8) 15 + (− 60

+ 34,8) 0

+ ...

(20 + 34,8) 2 + (40 + 34,8) 0 + (60

+ 34,8) 2

′′

= 1475,5 .

Среднее квадратическое отклонение σ – арифметическое значе-

ние корня квадратного из дисперсии:

σ =

;

′′

= 1475,5

= 38,41 .

Таблица 28

Основные характеристики исследуемогоДвариационного ряда

-34, 8″

1475,5″

38,41″

6.4. ПодборкаСтеорет ческого распределения для эмпирического

распределения истинных погрешностей измерения горизонтального угла одним полным приемом теодолитом

Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распространенным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид

f (x) =		1		e−	(x− x )2
		1			2σ2 ,

	σ	2	π
	σ	2	π

где x – математическое ожидание случайной величины; σ – среднее квадратическое отклонение.

В этом случае говорят, что случайная величина подчинена нормальному закону распределения (это распределение также называют законом Гаусса).

Определение критерия χ2. Для расчета вероятностей pi попадания случайной величины X в интервал [xi, xi+1] используем функцию Лапласа в соответствии со свойством нормального распределения:

) =

- x

≤ X ≤ x

i+1

− Ф

i+1

где xi , xi+1– интервалы ряда;

x – среднее арифметическое;

σ– среднее квадратическое отклонение.

Чтобы найти значение функции Лапласа (табл. 29) по известно-

му значению аргумента, воспользуемся таблицей Лапласа (прил. 6).

					1			90			Д
pi (−110	≤ X ≤ −90) =				1			90	− (- 34,8)				-110 − (- 34,8)			= 0,05.
pi (−110	≤ X ≤ −90) =				2		Ф		38,4				− Ф	38,4		= 0,05.
					2				38,4					38,4
									А
							б								Таблица 29
							б
				Нахожден е функции Лапласа
				и
Номер		Интервал												Ф i+1	Ф i		pi
интервала		Интервал				Частота				Арг. i+1			Арг. i	Ф i+1	Ф i		pi
1		[-110 ; -90]						2		-1,44			-1,96	-0,850	-0,950		0,050
		С
2		[-90 ; -70]						15		-0,92			-1,44	-0,642	-0,850		0,103
3		[-70 ; -50]						0		-0,40			-0,92	-0,310	-0,642		0,165
4		[-50 ; -30]						21		0,12			-0,40	0,095	-0,310		0,203
5		[-30 ; -10]						5		0,65			0,12	0,484	0,095		0,194
6		[-10	;	10]				5		1,17			0,65	0,758	0,484		0,136
7		[10	;	30]				10		1,69			1,17	0,909	0,758		0,075
8		[30	;	50]				0		2,21			1,69	0,972	0,909		0,032
9		[50	;	70]				2		2,73			2,21	0,993	0,972		0,010
Для определения статистики χ 2												удобно составить табл. 30.

В таблице Лапласа находим значения Ф. Для начала по верти-

кали находим целые и десятые доли значения числа. Найдя в таблице значения, смотрим по горизонтали сотые доли значения числа.

					Определение статистики χ 2					Таблица 30
					Определение статистики χ 2

№		Интервал			Эмпириче-		Вероят-	Теорети-	(ni- npi)2	(ni − npi )2
п/п					ские час-		ности pi	ческие	(ni- npi)2	npi
					тоты ni			частоты		npi
								npi
1		[-110 ; -90]			2		0,050	2,997	0,994	0,331
2		[-90 ; -70]			15		0,103	6,231	76,895	12,340
3		[-70 ; -50]			0		0,165	9,948	98,962	9,948
4		[-50 ; -30]			21		0,203	12,189	77,633	6,369
5		[-30 ; -10]			5		0,194	11,664	44,408	3,807
6		[-10	;	10]	5		0,136	8,211	10,310	1,255
7		[10	;	30]	10		0,075	4,530	29,92	6,605
8		[30	;	50]	0		0,032	1,917	3,674	1,917
9		[50	;	70]	2		0,010	0,624	1,893	3,034
					∑=60		∑=0,9719	∑=58,311		х2=45,61
		Таблица значений критерия Пирсона приведена в прил. 7.
							А
		Таким образом, фактическое наблюдаемоеИзначение статистики
χ	2 = 45,61.					б		Да нормальный закон распределе-
		Так как число интервалов m=9,						Да нормальный закон распределе-

ния определяется r = 2 параметрами, то число степеней свободы будет
и
С	k = m − r −1 = 9 − 2 −1 = 6.

Распределен е χ 2 даёт возможность оценить степень согласо-

ванности теоретического и статистического распределений. Для распределений χ 2 составлены специальные таблицы. Пользуясь этими

таблицами, можно для каждого значения χ 2 и числа степеней свободы найти вероятность того, что величина, распределенная по закону χ 2 , превзойдет это значение. Вероятность, определенная по таблице,

есть вероятность того, что за счет чисто случайных величин мера расхождения теоретического и статистического распределений будет не меньше, чем фактически наблюдаемое в данной серии опытов значе-

ние χ 2 . Если эта вероятность мала, то результат исследования следу-

ет считать противоречащим нулевой гипотезе H0 о том, что теоретическое и статистическое распределения случайной величины совпадают.

В нашем примере χ2пр > χтеор2 , значит, гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе не согласуется с опытными данными.

Для значений χ2 в нашей выборке не выполняется неравенство χпр2 < χтеор2 . Полученное значение χ2 , равное 45,61, не принадлежит

ни одному уровню значимости.

Критерий получился очень большой. При описанных условиях и методиках проведения измерениий это ожидаемый результат. Невоз-

можно подобрать критическое значения χ2 ни на одном уровне зна-

чимости. Ряд погрешностей измерений угла теодолитом не соответствует нормальному закону распределения.

Скорее всего, причины этого – некачественные измерения.

Следствие – систематические погрешности, присутствие грубых по-

грешностей измерений. Можно предположить, что они возникли из-за

нарушения методики измерений, из-за приборных погрешностей тео-
	Д
долита или электронного тахеометра, из-за промахов при взятии от-
счетов и наведении.	А

Таким образом, оценка точности по формулеИГаусса для выбор-

ки из 60-ти значений неприемлема. Оценка точности по формуле Га-

	б
усса предназначена для ряда случайных погрешностей. Если все-таки
в нашем примере её осуществить, достоверность будет низкая.
и
С

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия