Раздел 7. Диффузионные явления... Вопросы: ...94-96.
так как каждый член представляет собой объёмную долю компонента. Продифференцируем (237) по координате
£ ^ ° -
Одновременно равенства (236) и (238) могут выполняться только при
( D 1 2 ) v = (Dai)v. |
(239) |
95.Получите взаимосвязь между коэффициентами взаимодиффузии Di2 и £*2i в системе центра масс.
В системе центра масс с учётом закона Фика будет справедливо следующее равенство
(D12)M^ |
+ (D2l)M^ |
= 0. |
(240) |
Откуда
(ад* = -сад
Выразив производные, стоящие в (241) с помощью (238), окончательно получим
(адл# =(Дц)м £ . |
(242) |
06.Какая связь между коэффициентами взаимодиффузии Dn в системе отсчёта Фика и в системе отсчёта Гитторфа, а также в системе центра масс и в системе отсчёта Фика?
Для бинарной системы запишем уравнение (232) для систем отсчёта Фика и Гитторфа
{Ji)v |
= ciUov + (Ji)ot |
/ т \ |
тг |
\J2)V |
= C2UOV- |
— 92 —
Раздел 7. Диффузионные явления... Вопросы: ...96-97.
Умножим первое уравнение на V{, а второе уравнение на V^*. Далее с учётом (235) и (236), найдем
Uov = -Vx*(Ji)o. |
(244) |
подставляя (244) в первое уравнение (243), будем иметь
. (245)
Если применить к плотности потоков закон Фика, сократить одинаковые градиенты концентрации иучесть, что ci V{ есть объёмная доля <р, тополучим
(£>1)v = ( £ > i ) o ( l - v ) - |
(246) |
97.Какая связь между коэффициентами взаимодиффузии всистеме центра масс и всистеме отсчёта Гитторфа?
В соответствии с (231) и(233) для системы центра масс и системы отсчёта Гитторфа можно написать
(JI)M =ci Uмо +(«Л )о,
Сучётом определения системы центра масс (233) изуравнений
(247)следует
=(Ji)o/(ci+c2). (248)
Подставляя (248) в первое уравнение (247), получим
где с = с\ + С2- Выражая плотности потока с помощью закона Фика, придём к соотношению
() |
(250) |
93
Раздел 7.Диффузионные явления... Вопросы: 98-101.
98.Какая связь между коэффициентами взаимодиффузии в системе центра масс и в системеотсчёта Фика?
Исключив из (246) и (250)коэффициент (Di)o, получим
(D1)M = {Di)v ^ ^ |
(251) |
99.Как записать выражение для функции диссипацииизотермической диффузии бинарной смеси, если потоки определены в системе центра масс?
В системе центра масс £ «Л = 0. Тогда функция диссипации изотермической диффузии согласно (106)будет
(Фо)т = -Ji(grad/ii - grad/i2). |
(252) |
100. Покажите, что grad/xi - grad/i2 = ^ ^ (l + ^"7*')
Так каквбинарном растворе dx\ — —dx?, то иgradari = — grada;2- Используя эту связь, а также уравнение Гиббса-Дюгема, получим
/ |
хЛ |
дцх |
, |
1 dpi |
gradA/*i2 = 1 1+ — ) ^ — g r a d a : = — ^ — g r a d a ; . |
||||
\ |
x2j |
дх\ |
|
х2 axi |
Взяв производную химического потенциала по мольной доле, будем иметь
grad Д/М2 = grad/ti-grad/x2 = |
( 1+xj —- |
) gradxi. (253) |
|
xix-z \ alnxi |
/ |
101. Что такое термодинамическая поправка коэффициента диффузии. Кто её ввёл?
Коэффициент диффузии в неидеальных системах имеет вид
— 94 —
Раздел 7.Диффузионныеявления... Вопросы: ...101-104.
где D° — коэффициент диффузии в идеальной системе, а выражение в скобках называется термодинамической поправкой коэффициента диффузии. Ввёл её Эйнштейн.
102.Выведите формулу для профиля концентрации приJ; = const, Di = const.
Уравнение стационарной изотермической диффузии в
форме Фика записывают следующим образом
Ji = -DigradCi, |
(255) |
где Ji — мольная плотность потока, с* — мольно-объёмная концентрация. Существует ещёзапись уравнения диффузии в форме Стефана, в которой вместо плотности потока компонента фигурирует разность скоростей диффузии компонентов. Обе формы можно преобразовать друг в друга. Решение уравнения (255) при Ji = const и Di —const имеет вид
Ci = const — -ррг, |
(256) |
Di
то есть в стационарном состоянии концентрация линейно зависит от координаты г.
103. Напишите уравнение нестационарноий изотермической диффузии вобщем виде.
Уравнение нестационарной изотермической диффузии
получают подстановкой (255) в уравнение баланса (97)
дс
-^~ = div(Dj grad с*) = Di div grad d + grad Dt grad c,. (257)
104. Покажите, чтоконцентрационная зависимость коэффициента диффузии приводит к появлениюнелинейныхчленов в уравнении баланса.
В изотермических условиях D = D(c,p), тогда
grad Di = -х-1 grad p + -^-i grad с,. |
(258) |
Op OCi
._... 95 —
Раздел 7. Диффузионные явления... Вопросы: ...104-105.
Подставляя (258) в (257), получим
-£г = Adivgradci + -^- gradpgradcj + -^ (grade*)2 . (259)
Таким образом, концентрационная зависимость коэффициента диффузии привела к появлению нелинейных членов в уравнении баланса.
105. При каких условиях справедливо выражение ^ - |
= |
Как можно получить общее решение этого уравнения? |
|
Выражение |
|
У = div(Di g radC j ) = Di^- |
(260) |
справедливо при соблюдении следующих условий:
1)Т = const (отсутствует термодиффузия),
2)р = const (отсутствует бародиффузия),
3)нет химических реакций (отсутствуют источники и стоки вещества),
4)отсутствуют внешние поля (например, электрическое, то есть отсутствует электродиффузия),
Ъ) D — const, иначе коэффициент диффузии не может быть вынесен за оператор ^ (см. вопрос 103),
6)одномерная диффузия,
7)двухкомпонентная система.
Пункт 7 требует пояснения. Если система более, чем двухкомпонентная следует принимать во внимание изменение концентрации одного из компонентов за счёт перноса других. Запись
(261)
где к = N — I, а. N — число компонентов, п — мольная плотность смеси, Xj — мольные доли, е, = nxj, Jj — мольные плотности потоков, носит название обобщённого закона Фика, если
— 96 —