Материал: Зразок_виконання_РГР_ВПМ_Тема_Матем_аналіз

Знайдемо частинні похідні першого порядку:

.

Обчислимо їх значення в точці :

_Тоді

.

Похідна функції за напрямком вектора дорівнює [1,с.371]

,

де - орт вектора .

Для заданого вектора знаходим

.

Тоді

=

Задача №3.

Знайти градієнт функції та похідну функції за напрямком вектора в точці ; г)дослідити функцію на екстремум.

в) , , ;

г) .

Розв’язання.

За формулою [ч.1, с. 372],

Для обчислення градієнта функції знайдемо її частині похідні у точці :

; ; .

Тоді

Похідну функції за напрямом вектора в точці обчислимо за формулою (23.1) [ч.1,с.372]

,

де – напрямні косинуси вектора .

Знаходимо напрямні косинуси вектора , довжина якого

Маємо

, , .

Тому

.

г) Задана функція є визначеною і диференційованою для всіх . Тому екстремум може бути тільки у стаціонарних точках [ч.1, с. 403]. Щоб знайти стаціонарні точки, розв’яжемо систему

Знайдемо частині похідні

, .

Отримаємо систему

і

Розв’язавши останню систему, знаходимо дві стаціонарні точки: , . Для того, щоб скористатися достатньою умовою екстремуму [ч.1, с. 423], знайдемо частинні похідні другого порядку в цих точках:

, , .

Перевіримо достатні умови для точки :

, ,

Оскільки і , то згідно з умовою [ч.1, с.424], і в точці екстремуму немає.

Відповідно для точки :

, ,

Тобто

,

Тоді відповідно до умови [ч.1, с.424], в точці є екстремум і це мінімум.

.

г) дослідити функцію на екстремум.

г) .

г)

Задача №10. а) Дослідити функцію на екстремум.

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку:

, .

Оскількі похідні визначені при всіх значеннях і , то екстремуми можуть бути тількі у стаціонарних точках. Знайдемо стаціонарні точки данної функції [1,с.404]. Для цього розв’яжемо систему

, , , , . Функція має дві стаціонарні точки: .

Для перевірки достатніх умов [ч.1,с.422] знайдемо частинні похідні другого порядку:

.

Обчислимо їх значення в точці :

.

Перевіримо достатні умови :

.

Отже, екстремуму в точці немає.

Для точки :

;

.

Отже, точка є точкою мінімуму.

Задача №2. Знайти найбільше та найменше значення функції в області, яка обмежена заданими лініями. Зобразити задану область.

Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області знаходяться в критичних точках, що належать даній області, або на її межі. Таким чином, правило знахождення найбільшого та найменшого значень диференційовної в області функції полягає у слідуючому::

1) Знайти всі критичні точки функції, що належать , та обчислити в знайдених точках значення функції.

2) Знайти найбільше та найменше значення функції на границях області.

3) Порівняти всі знайденні значення функції та обрати з них найбільше М і найменше .

Розв’язання. Зобразимо вказану область

Знайдемо точки перетину прямих. Граничні точки області:

, ,

Для знаходження усіх критичних точок функції розв’яжемо систему:

Критична точка не належить вказаній області, отже, значення фукнції в ній не береться до уваги. Далі дослідимо функцію на границі області :

1) На відрізку ,

Після підстановки отримаємо функцію однієї змінної , яка досягає свого найбільшого (найменшого) значення на кінцях проміжку або в його критичних точках. Знайдемо критичні точки функції:

, ,

Оскільки , то знаходимо значення функції тільки на кінцях інтервалу:

, .

2) На відрізку

Виконаємо вказану підстановку: .

Знайдемо критичні точки:

, ,

Знаходимо значення функції на кінцях :

,

3) На відрізку ,

=