Материал: Введение в нанотехнологии (Рыбалкина), c.87

гребнями. Волна, однако, не особенно локализована, она занимает большое пространство. Электрон, скорость которого нам хорошо известна, в отличии от положения, которое мы знаем очень плохо, можно представить в виде волны такого типа.

Фундаментальные, принципиально непреодолимые квантовые пределы точности измерений

Одна из актуальнейших проблем современной нанотехнологии является так называемая "проблема толстых пальцев", под которой подразумевается сложность манипулирования микро и наночастицами. Ведь если даже диаметр человеческого волоса в несколько тысяч раз превосходит нанометровые размеры, то какими же должны быть инструменты для измерения и манипулирования объектами квантового мира?

Датским физиком Нильсом Бором был сформулирован один из основополагающих принципов квантовой механики – так называемый принцип дополнительности, согласно которому получение экспериментальной информации об одних физических величинах микрообъекта неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах, дополнительных к первым. Фактически, суть таких взаимно дополнительных величин описывается

соотношением неопределенностей Гейзенберга, которое утверждает следующее: существуют такие пары физических величин, одновременное и точное определение которых невозможно.

Примером такой пары величин являются координаты частицы X и проекция ее импульса P на ось Х. Количественно соотношение неопределенностей формулируется следующим образом. Если ∆x – неопределенность значения координаты частицы, а ∆p – неопределенность значения проекции импульса частицы P на ось Х, то произведение этих неопределенностей должно быть по порядку величины не меньше постоянной Планка ћ

∆x ∆p ≥ h

Отсюда следует, что если мы точно определили координату частицы (∆xÆ0), то мы ничего не можем сказать об ее импульсе (∆pÆ∞). И наоборот, если

∆pÆ0, то ∆xÆ∞

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определено значение одной из входящих в него величин, тем менее определено значение другой. Например, по столу ползет муха, Попытаемся определить одновременно ее координату и импульс. Для точного определения координату "зафиксируем" положение мухи хлопушкой. Да, в этом случае мы точно знаем координату мухи, но что тогда можно сказать о ее импульсе? Ведь она уже не ползет, а лежит вверх ножками… Конечно, данная аналогия не совсем корректна, поскольку муха

является далеко не квантовым объектом, но, тем не менее, она весьма показательна.

Рассмотрим еще несколько примеров на эту тему. Допустим, нам требуется определить координату ∆x и импульс ∆p электрона. Зная то, что электрон обладает волновыми свойствами, мы даже интуитивно чувствуем, что волна – это ускользающий объект, который "не дается в руки". Чтобы определить местонахождение электрона ∆x последний должен рассеять хотя бы один фотон – иначе электрон не зафиксируешь. При этом, вследствие дифракции координата будет определена с точностью до порядка длины волны фотона:

Но, рассеивая фотон, электрон изменяет свой импульс на величину ∆p, которая будет по порядку величины равна импульсу фотона:

Из (1) и (2) следует:

∆x·∆p ~ ћ,

то есть как раз соотношение неопределенностей.

Другая пара величин, связанных соотношением неопределенностей – это энергия системы Е и время t, в течение которого система имеет это значение энергии. В этом случае соотношение неопределенностей выглядит так:

∆E·∆t ~ ћ

Отсюда следует, что если мы имеем возможность наблюдать динамическую систему в течение времени ∆t, то ее энергия может быть определена с точностью, не более, чем

∆Е ~ ∆ht

Таким образом, соотношение неопределенностей устанавливает фундаментальные, принципиально непреодолимые пределы точности измерений.

Можно даже сказать, что природа позволяет изучать себя с точностью только до соотношения неопределенностей, и не более того.

Читатель может возразить, что если мир един, то почему мы не говорим о принципе неопределенности для измерения классических частиц, например, в случае движения бильярдного шара или автомобиля?

Скажем сразу, что неопределенность присутствует и здесь, но по ряду причин мы ее не замечаем. Во-первых, любое измерение, выполненное с помощью инструментов, пусть даже самых совершенных (а совершенству, как известно, нет предела) не может быть идеальным в том смысле, что положение и скорость не могут быть определены совсем без ошибок. Ошибки присущи физическим измерениям; можно стремиться к их уменьшению, но избавиться от них полностью невозможно. Во-вторых, неопределенность, предсказанная Гейзенбергом, уменьшается с увеличением массы рассматриваемого объекта, пока не становится совершенно незаметной в случае макроскопических тел.

Итак, мы убедились, что:

Никакой эксперимент не может привести к одновременному и точному измерению таких динамических переменных, которые являются дополнительными друг к другу.

Вслед за Бором, принцип дополнительности часто объясняют влиянием измерительного прибора на состояние микрочастицы. С одной стороны, это оправданно, поскольку большинство измерительных приборов так или иначе является макроскопическими, грубыми по отношению к размерам квантовых объектов. Понятно, что чем технически несовершеннее измерительный прибор, тем менее определенными (точными) будут измерения.

С другой стороны, неопределенность в измерениях связана не только с несовершенством измерительной техники, но и с объективными свойствами материи. Дело в том, что любое измерение как физический процесс обязательно сопровождается воздействием на объект в процессе измерения. Например, измеряя длину стержня, я прикладываю к нему линейку, тем самым, воздействуя на него и, следовательно, изменяя его свойства, в том числе и длину.

Даже когда мы определяем силу тока в цепи с помощью амперметра, в идеале нужно изолировать от всех внешних факторов, например, в том числе делать это в абсолютной темноте. Ведь фотоны света могут оказывать давление на стрелку и показания амперметра в темноте и на свету будут различными.

Разумеется, ни один психически нормальный человек не станет учитывать подобные тонкости в макромире, но когда речь идет о квантовом пространстве без этого просто не обойтись.

Классические и квантовые размерные эффекты

В нашей вводной лекции мы познакомились с понятием ультрадисперсности и убедились, что с уменьшением размера частиц какого-либо вещества могут существенно меняться его физические и химические свойства. Это происходит из-за того, что ход физических процессов зависит не только от свойств самого вещества, но и от геометрии той области пространства, в которой

они происходят - грубо говоря, от "размеров" этой области. Для наглядной иллюстрации этой идеи приведем следующую аналогию: представим, что в узком переулке нужно развернуться какому-то транспортному средству. Очевидно, что сделать это легче мотоциклисту, а не водителю тяжелого КАМАЗа.

Размерные эффекты в твердых телах – это явление, наблюдающееся в условиях, когда геометрические размеры объекта сравнимы с той или иной из характеристик длин, определяющих протекание физических процессов (например, длиной свободного пробега носителя заряда, длиной волны де Бройля, диффузионной длиной и т.д).

В зависимости от размеров исследуемого образца различают классические и квантовые размерные эффекты, которые могут влиять практически на любое физическое или химическое свойство вещества. Понятно, что для нанометровых объектов, где размеры частиц сравнимы с де Бройлевской длинной волны электрона, характерны именно квантовые размерные эффекты, определяющие такие свойства вещества, как теплоемкость, электропроводность некоторые оптические свойства и т.п.

Туннельный эффект

Самым ярким представителем квантовых размерных эффектов является туннельный эффект — явление, играющее важную роль и в нанопроцессах, и в нанотехнологиях, и в наноинструментарии. Сущность туннельного эффекта заключается в преодолении микрочастицей потенциального барьера в случае, когда ее полная энергия меньше высоты барьера. Это явление чисто квантовое, так как классическая частица не может находиться внутри потенциального барьера высоты V, если ее энергия E<V, так как кинетическая энергия частицы становится при этом отрицательной, а ее импульс — мнимой величиной.

p2 = E −V

2m

Рис 6. Условная схема туннельного перехода

Однако для микрочастицы этот вывод не справедлив: вследствие соотношения неопределенностей фиксация частицы внутри барьера делает неопределенным ее импульс.

Поскольку потенциальная энергия частицы однозначно определяется ее координатой, а кинетическая энергия ее импульсом, а в силу соотношения неопределенностей одновременно и точно координату и импульс частицы определить невозможно, значит разделение энергии на кинетическую и потенциальную в квантовой физике бессмысленно. Соответственно, появляется вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер.

Волновая функция и вероятностный характер поведения квантовых объектов

Классическая механика Ньютона решает задачи, в которых физическая система может быть описана однозначно и достоверно, поскольку человечеству уже известны все необходимые для этого законы макромира. Квантовой же механике приходится иметь дело с объектами, изучение которых ограничено принципом неопределенности, описанным выше.

Если в классическом мире мы выбираем некоторый переменный объем dV и решаем задачу поиска местонахождения частицы (например, решаем задачу нахождения телевизора в комнате), то для получении точного решения в этом случае имеются только две вероятности:

•либо частица находится в данном объеме (вероятность нахождения частицы равна 1)

•либо частицы нет в данном объеме (вероятность нахождения частицы равна 0)

Законы квантового мира не обладают той степенью наглядности, которая свойственна законам классической механики. Здесь все гораздо сложнее. Например, известно, что указать точное расположение электрона в атоме невозможно – он как бы "размазан" вокруг положительно заряженного ядрапротона. Тем не менее, мы все же можем утверждать, что с определенной долей вероятности данный электрон находится на той или иной орбите.

Поэтому для решения той же задачи нахождения частицы в квантовом мире мы можем лишь указать, что вероятность dP того, что частица находится в объеме dV равна:

0 ≤ dP ≤1

Очевидно, что чем больше рассматриваемый объем, тем более вероятно обнаружить в нем искомую частицу. (Если, например, заранее известно, что телевизор находится в комнате, то, увеличивая объем той части комнаты, в котором производится поиск, мы, тем самым, увеличиваем вероятность