Материал: Возможное применение процессов квантового перепутывания во времени в криптографических схемах, основанных на неравенстве Белла

Далее, Алиса и Боб посылают по одному фотону из своих пар Виктору (Рис 7), а оставшуюся частицу измеряют (определяют ее поляризацию в некотором произвольном базисе). Естественно ожидать, что результаты измерений Алисы и Боба никак не коррелированны. Совместное 4х-частичное состояние в базисе Белла:

 =

Виктор объединяет полученные от Боба и Алисы фотоны в пару и может измерить их в соответствующем Белловском базисе. Как видно из разложения, в этом случае состояние частиц 1-4, уже измеренных Бобом и Алисой, станет перепутанным. Устройство, изготовленное в [17], позволяет Виктору проводить измерения либо в максимально перепутанном, либо в классическом базисах. В зависимости от того, какой выбор совершит Виктор, фотоны Боба и Алисы могут стать коррелированными или остаться классическими уже после процедуры их измерения!

Устройство, используемое в эксперименте [17], включает в себя генератор случайных чисел, определяющий выбор базиса Виктора, систему двулучепреломляющих пластин и электрооптических модуляторов, изменяющих соответствующие углы поляризации для измерения совместного счета фотонов, а также из набора фотодетекторов, проводящих измерение.

Экспериментальная проверка показала, что, действительно, для пар фотонов Алисы и Боба, соответствующих Белловскому базису измерений Виктора, нарушается неравенство Белла, тогда как для пар, соответствующих классическому базису, видность интерференционной картины совместных отсчетов ограничивается классически допустимым пределом.

.3 Перепутывание пар фотонов во времени

Эксперимент по «временному перепутыванию» фотонов был проведен в 2012 году [18]. Идея эксперимента заключается в том, чтобы навести квантовую корреляцию в случае измерения пары фотонов, разделенных во времени. Иначе говоря, один из фотонов данной пары измеряется еще до того, как второй фотон создается. Тем не менее, после измерения второго фотона, мы наблюдаем устойчивую корреляцию между полученными в разные моменты времени результатами.

При математическом описании процессов проекционных измерений переходят от части пространственных мод к временным модам. Тем самым, анализируя волновую функцию каждого фотона, мы будем отслеживать ее эволюцию с течением времени. Схема эксперимента указана на Рис 8.

Фотоны 1-2 рождаются в некоторый заданный момент времени t=0 в результате параметрической генерации света на кристалле BBO. Один из этих фотонов (1) измеряется сразу после генерации пары. Второй фотон подается на линию задержки, представленную группой зеркал с высоким коэффициентом отражения [18]. В момент времени t=???? создается вторая пара фотонов 3-4. Фотоны 3 и 2 подвергаются проекционному измерению в Белловском базисе на светоделителе. В результате подобного измерения, состояние фотонов 1 и 4 становится перепутанным во времени. Наличие квантовых корреляций между этими частицами может быть подтверждено проведением измерений над фотоном 4. В работе [18] проводилось вычисление матрицы плотности фотонов 1-4 посредством комбинационных измерений с различными углами поляризации перед детекторами. Данный метод основан на теории томографии квантовых состояний и описан в [19].

Пара фотонов теперь описывается набором пространственных мод a и b, а также набором временных мод (в зависимости от того, в какой момент времени родился фотон). Синглетное состояние пары фотонов 1-2, рожденных в один момент времени t=0:

 (17)

Совместная волновая функция для первой и второй пары фотонов с учетом времени их рождения:

Фактически, данное совместное состояние следует рассматривать, как начальное. В результате процессов измерения на светоделителе мы приходим к конечному состоянию системы (учтем, что фотон 4 будет измерен на том же светоделителе в момент времени t=2????, ибо его оптический путь аналогичен фотону 2), которое имеет вид:

 (19)

Данное состояние может быть разложено в Белловском базисе (см. [18])

(20)

В результате, измеряя фотоны 2-3 в Белловском базисе (с временными модами t= ????), мы получим редукцию совместной волновой функции фотонов 1-4 к соответствующему квантово перепутанному состоянию.

Схема эксперимента представлена на рис 8 (б).

3. Квантовая криптография

В качестве иллюстрации основных принципов квантовой криптографии, мы кратко рассмотрим здесь два традиционных типа протоколов передачи информации - протоколы Беннета-Брассарда и Экерта [21,22]. Более подробный анализ вопросов квантовой криптографии можно найти в [4]. Протокол Беннета-Брассарда основан на передаче однофотонных импульсов от Алисы Бобу без использования перепутанных состояний. Протокол Экерта использует для контроля создаваемого ключа неравенство Белла.

.1 Протокол Беннета-Брассарда

Квантовый криптографический прибор состоит из приемника и передатчика [6,21]. Отправитель на конце передатчика посылает фотоны в одном из четырех состояний поляризации, характеризуемых углами по отношению к вертикальному направлению. Два первых состояния обозначают бит 0, тогда как, два последних - бит 1. На принимающем конце, получатель измеряет поляризацию приходящих фотонов, выбирая случайно базис  или ‪ (диагональная и вертикальная ориентация поляризатора). Если выбранный получателем и отправителем базис совпадет, то измеренная поляризация будет нести для получателя истинную информацию. Если же базисы не совпадут, корреляции между поляризациями отправленного и полученного состояния наблюдаться не будет. После процедуры измерения, по классическому каналу отправитель и получатель сравнивают набор базисов. Фотоны, соответствующие совпадающим базисам, используются для создания криптографического ключа.

В данном протоколе пассивное подслушивание невозможно ввиду того, что, перехватывая фотоны и измеряя их состояние, третья сторона тем самым разрушает их поляризацию. Этот факт приводит к несоответствию последовательностей отправителя и адресата. В этом случае, обе стороны могут забраковать свои данные и начать процедуру передачи информации сначала.

3.2 Квантовая криптография на теореме Белла

Идея подобного рода криптографии основана на генерации перепутанных фотонов в синглетном состоянии [6, 22]. Источник перепутанных пар помещается между отправителем и получателем информации (Рис 2)

Каждая из сторон измеряет состояние соответствующего фотона в базисах  или ‪. В результате опять получается набор поляризаций, соответствующих каждому фотону пары. Далее, по классическому каналу стороны сравнивают наборы базисов, в которых они проводили измерения. В случае совпадения некоторых из них, известно, что фотоны перепутанной пары антикоррелируют друг с другом. В этих случаях формируется криптографический ключ.

В случае несовпадающих базисов, известно, что совместная корреляция фотонов нарушает неравенство Белла. Проверяя этот факт, можно вычислить, действительно ли пара фотонов является запутанной, или, что при подслушивании фотон был заменен.

3.3 Пространственный перенос корреляций в квантовой криптографии

В предыдущем разделе была рассмотрена экспериментальная идея реализации эффекта пространственного переноса квантовых корреляций между двумя различными перепутанными состояниями.

Отметим, что эта идея может быть использована для увеличения расстояния между Алисой и Бобом в криптографической схеме. Эта возможность была теоретически рассмотрена в работе [20], посвященной квантовым повторителям.

Ограничение расстояния между Алисой и Бобом во многом обуславливается процессами затухания сигнала, передаваемого фотонами по оптическому волокну или воздуху. Как было показано в [20], затухание имеет экспоненциальный характер в зависимости от длины оптического пути.

Установка дополнительных, перехватывающих источников перепутанных пар в некоторых узлах оптической схемы может существенно продлить дистанцию сообщения между абонентами (Рис 9).

Возможность экспериментальной реализации процессов пространственного переноса корреляций открывает в свою очередь практическую возможность реализации указанной схемы.

4. Вариант применения эффекта перепутывания во времени в криптографии

В предыдущих разделах мы подробно рассмотрели физическую сущность и методы получения квантово перепутанных состояний. В предыдущем разделе, мы показали, что процесс детектирования квантовых корреляций в перепутанных состояниях с успехом может быть использован для улучшения протоколов криптографии. Мы показали, что процесс пространственного наведения корреляций между двумя перепутанными состояниями, может вполне быть используем для улучшения технических характеристик криптографической схемы передачи информации.

В свою очередь, процесс временной передачи квантовых корреляций, как нам представляется, также может быть положен в основу протокола квантовой криптографии.

Обратимся к Рис 10. Ввиду того, что процесс перепутывания во времени связан с эволюцией временных мод фотонных пар («Перепутывание пар фотонов во времени»), мы будем рассматривать процедуру распределения ключа в несколько тактов. В первом такте работы схемы, источник фотонных пар распределяет частицы Бобу и Алисе. Алиса измеряет состояние своего фотона в некотором базисе, а Боб пропускает фотон на линию задержки. Во втором такте, генерируется вторая пара запутанных частиц. При этом Алиса в свою очередь пропускает фотон на другой конец линии задержки, а Боб осуществляет измерение. Процесс пропусканияизмерения фотона может контролироваться, например, переключением зеркала, прикрепленного к пьезоэлементу. Время переключения зеркала необходимо синхронизировать с тактовой работой схемы, которая в свою очередь будет определяться частотой генерации пар перепутанных частиц на параметрическом генераторе. Фотоны первой и второй пар, пропущенные на разные концы линии задержки будут попадать на светоделитель, где, используя фотодетекторы, можно будет осуществлять Белловские проекционные измерения.

После ряда соответствующих процедур, Алиса и Боб смогут в классическом канале обнародовать информацию о том, в каких базисах производились их измерения, а также информацию о наборе Белловских состояний, в которые произошла редукция при проекционных измерениях.

При совпадении базисов Алисы и Боба, с учетом типа перепутанного состояния, можно использовать информацию для генерации криптографического ключа.

Остальные случаи пойдут на проверку неравенства Белла.

В случае перехвата частиц Евой, Алиса и Боб смогут это обнаружить по соблюдению неравенства.

Важным атрибутом предложенной схемы является тот факт, что для создания перепутанного состояния теперь необходимо проводить проекционные измерения. Каждой паре перепутанных частиц, измеренных Бобом и Алисой, теперь будет соответствовать информация о конкретном типе перепутанного состояния.

Мы предполагаем, что этот факт должен будет уменьшить относительную ошибку при проверке неравенств Белла, а также ошибку, вносимую регистрацией случайных фотонов.

Стоит отметить также, что даже если Еве каким-либо способом удастся подменить передаваемый фотон другим запутанным (теоретически, с помощью процессов пространственного переноса), это вероятно потребует определенного количества времени. Затраченное время вызовет относительную задержку на светоделителе, где производятся проекционные измерения. В результате, процесса переноса корреляций все равно не произойдет, и Алиса с Бобом смогут идентифицировать факт подслушивания.

Таким образом, мы ввели в этой схеме еще одну степень свободы, связанную с временной эволюцией состояний.

Исследование возможных преимуществ и недостатков данной схемы, а также изучение аспектов ее экспериментальной реализации станет предметом наших будущих исследований в этой области.

Были рассмотрены новейшие эксперименты, относящиеся к проблемам временного и пространственного переноса квантовых корреляций.

Мы отметили экспериментальную возможность продления криптографической линии на основе эффекта пространственного переноса, как это теоретически было предложено и рассмотрено без анализа конкретного механизма передачи корреляций между состояниями в работе [20].

Нами была теоретически предложена схема возможного протокола передачи данных на перепутывании состояний во времени. Возможности и недостатки данного метода реализации процесса временного перепутывания еще не изучены нами достаточно полно и станут предметом нашего дальнейшего исследования.

Хотелось бы выразить благодарность научному руководителю курсовой работы Магницкому Сергею Александровичу, а также Нагорскому Николаю Михайловичу за плодотворное обсуждение проблемы и помощь в поиске необходимой литературы.