Материал: Вариационный принцип Ферма в оптике

 (19)

Первые из этих равенств, суть очевидные следствия того, что все три линии - прямая П , кривая I и кривая II-проходят через одну точку О, х=х₀.

Вторые равенства, получились благодаря тому, что в точке О указанные три линии касаются друг друга, а угол падения луча равен углу его отражения.

Мы знаем, что равенство нулю производной означает, что  как функции х могут иметь при х = х₀ минимум или максимум. Будет ли это именно минимум, а не максимум, определяется знаком второй производной.

Для прямой мы имеем минимум, . Однако, мы видим из последнего уравнения, что отсюда нельзя сделать вывод для кривых линий I и II. В частности, для линии II при достаточной кривизне ее длина имеет в точке О, при х = х₀, именно максимум, а не минимум. Благодаря подъему кривой II слева и справа от О путь , короче ИОА, путь ИОА является наиболее длинным из всех соседних путей из точки И в какую-либо точку линии II и оттуда в точку А.

Опыт показывает, что и в случае кривой II отражение происходит в точке О, т. е. в той точке, где длина пути имеет максимум; очевидно, в этой точке по-прежнему угол падения равен углу отражения.

Пользуясь принципом Ферма можно доказать теорему Малюса (т.е. ортотомная система лучей остается ортотомной после произвольного числа отражений и преломлений.)[5].

Доказательство. Система лучей называется ортотомной, если все лучи этой системы ортогональны к одной и той же поверхности.

Пусть все лучи перпендикулярны к поверхности F (рис.12). Проведем через каждую точку этой поверхности луч и отложим на нем отрезок постоянной (но произвольной) оптической длины L.

Геометрическим местом концов таких отрезков будет какая-то поверхность F'. Докажем, что все лучи рассматриваемой системы перпендикулярны к поверхности F', каково бы ни было значение величины L. Малые отрезки одного из лучей АС и С'А' могут считаться прямолинейными. Возьмем соседний бесконечно близкий луч и притом такой, что длины АВ и А'В' бесконечно малы по сравнению с АС и С'А'_.

Соединим В с С и С' с В' прямолинейными отрезками. По принципу Ферма с точностью до бесконечно малых второго или высшего порядков (ВЕВ')=(ВСС'В'), а по построению (ВЕВ') = (АСС'А'). Таким образом, (ВСС'В')=(АСС'А'). Вычитая отсюда общую часть (СС'), получим: (АС)+(С'А')=(ВС)+(С'В'). Так как по условию отрезок АС перпендикулярен к АВ, то с точностью до второго порядка малости АС=ВС, а следовательно, (АС)=(ВС). Поэтому с той же точностью (С'А')=(С'В'), или С'А'=С'В', откуда следует, что С'A'  А'В'.

С точки зрения волновой теории теорема Малюса почти самоочевидна, Действительно, для ортотомной системы лучей поверхность F есть одна из поверхностей равной фазы (волновой фронт). Распространяясь по законам геометрической оптики, она продолжает оставаться поверхностью равной фазы, а совокупность лучей - ортогональной системой. Конечно, ортогональность может и не соблюдаться. Например, волны вида  при соблюдении принципа суперпозиции распространяются независимо друг от друга. Каждой из таких волн соответствует ортотомная система лучей. Однако совокупность лучей, соответствующих всем волнам, ортотомную систему, вообще говоря, не образует.

Пример применения принципа Ферма в объяснении некоторых физических явлений

«Увеличение» длительности дня. «Удлинение» дня на 7-8 мин также объясняется принципом Ферма[6]. Как известно, с удалением от земной поверхности происходит уменьшение атмосферного давления согласно барометрическому закону

 (20)

где  - давление на земной поверхности, p - давление на высоте z, k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, g - ускорение свободного падения, m - средняя масса молекул воздуха. Подобным же образом происходит уменьшение показателя преломления воздуха по мере удаления от земной поверхности. Поэтому солнечные лучи на заре и при закате распространяются не по прямой линии, а по пути с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая тем самым свой путь в этих слоях. Поскольку предмет всегда виден в направлении прямолинейного продолжения луча, исходящего от него, то при восходе мы наблюдаем Солнце на несколько минут раньше, а при закате Солнце остается видимым в течение нескольких минут после его захода, «Удлинение» дня за счет этих явлений составляет 7-8 мин.

Мираж. Летом температура воздуха над поверхностью моря ниже, чем в более удаленных от его поверхности точках; другими словами, температура воздуха по мере удаления от поверхности моря увеличивается. Нагревание воздуха приводит к его расширению, а расширение, в свою очередь, - к уменьшению показателя преломления. Так как свет в теплых слоях проходит быстрее, чем в холодных, то в результате этого он распространяется по кривой траектории с наименьшим временем. Вот почему путь светового луча от некоторого плавающего летом в море предмета, например, лодки, искривляется и поэтому лодку мы видим как бы висящей в воздухе (рис. 13 а). По этой же причине летом, когда температура воздуха по мере удаления от поверхности земли уменьшается, на шоссейной дороге мы видим «воду» (в действительности - голубое небо), которое исчезает при приближении к данному месту (рис. 13 б).

Заключение

В работе был рассмотрен принцип Ферма как фундаментальный принцип вычисления времени прохождения световой волны через среду. Экстремальность данного принципа позволяет, в частности, при расчетах с однородными средами учитывать главным образом только точки преломления на границах среди показатели преломления. Выведены основные законы геометрической оптики, т.е. законы преломления и отражения света, рассмотрены следствия и прилежащие теоремы.

оптика свет волна преломление

Список литературы

1. В.Н. Самохин, Необходимое условие экстремума и вариационный принцип Ферма, Соросовский образовательный журнал №6 1999-127 с.

. Д.В. Сивухин, Оптика, 3-е изд. М.: Физматлит, 1980-752 с.

. Г.С. Ландсберг, Оптика, 6-е изд. М.: Физматлит, 1976-848 с.

. И.В.Савельев, Оптика, 3-е изд. М.: Наука; Физматлит, 1970-528 с.

. Б. Зельдович, А.Д, Мышкис, Элементы прикладной математики, 3-е изд. М.: Физматлит, 1972-592 с.

. Н.М. Годжаев, Оптика. М.: Высш. шк., 1977-432 с.

. Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов, Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980-305 с.

. А.Н. Матвеев, Оптика. М.: Высш. шк., 1985-351 с.

. Р. Дитчберн, Физическая оптика М.: Физматлит.,1965-631 с.

. Луи де Бройль, Революция в физике. М.: Атомиздат,1965-113 с.

. Е.И. Бутиков, Оптика. М.: Высш. шк., 1986-512 с.