Материал: Вариационный принцип Ферма в оптике

Вариационный принцип Ферма в оптике

Вариационный принцип Ферма в оптике

РЕФЕРАТ

Содержание

Введение

1.       Теорема Ферма о необходимом условии экстремума. Принцип Ферма

2.      Роль принципа Ферма в оптике

3.       Вывод законов геометрической оптики из принципа Ферма

4.      Пример применения принципа Ферма в объяснении некоторых физических явлений

Заключение

Список литературы

Введение

Многие законы физики могут быть выведены из утверждения, что для истинного развития исследуемого процесса определенная характеристическая величина достигает минимального (в более общем случае экстремального) значения по сравнению с ее значениями для некоторых других возможных течений этого процесса. Чтобы математически сформулировать это утверждение, необходимо ввести в рассмотрение уравнения, описывающие данный процесс, и с помощью изменения (вариации) их формы добиться достижения экстремального значения вычисляемой характеристической величины. Те уравнения, при которых это экстремальное значение достигается, и выражают истинные законы изучаемого явления. В таком случае данное утверждение принимают за исходное и называют вариационным началом или вариационным принципом[1].

Вариационный принцип геометрической оптики был предложен Пьером Ферма(1601-1665) в 1662 году.

Ферма внес значительный вклад в становление и развитие различных отраслей математики - от теории чисел до теории вероятностей. Мы кратко обсудим его теорему о необходимом условии существования экстремума дифференцируемой функции и попытаемся установить связь этой теоремы с фундаментальным принципом геометрической оптики, также принадлежащим Ферма.

Целью реферативной работы является изучения вариационного принципа Ферма в оптике.

Предмет исследования: прохождение световой волны через однородные и неоднородные среды.

1. Теорема Ферма о необходимом условии экстремума. Принцип Ферма

Эта важная теорема дифференциального исчисления столь проста, что изучается в школьном курсе "Алгебра и элементарные функции". В современных терминах теорема формулируется так: если функция f (x), определенная в окрестности точки x , дифференцируема в этой точке и имеет при x = x экстремум, то f '(x) = 0.

Теорема получена в 1628-1629 годах при решении задачи на отыскание наибольших и наименьших значений многочленов, а известна стала лишь десять лет спустя из письма к Р. Декарту ("О вершине параболы"), переданного через М. Мерсенна в 1638 году. Полученному результату Ферма посвятил также работу "Метод отыскания наибольших и наименьших значений" (1637), которая, однако, была опубликована лишь в 1679 году.

Каким же образом получил Ферма свою теорему почти за полвека до "изобретения" производной и дифференциального исчисления? Он обратил внимание на то, что в достаточно малой окрестности точки экстремума (точки локального минимума или локального максимума) приращение функции сохраняет знак независимо от знака приращения аргумента: в точке строгого минимума приращение положительно, а в точке максимума отрицательно. Поэтому для отыскания экстремума Ферма изучал зависимость приращения функции от малых приращений аргумента. Покажем, к примеру, как по методу Ферма следовало искать вершину параболы y = = x, то есть минимум функции f (x) = x. Рассмотрим приращение функции f (x) в произвольной точке x при малом приращении аргумента h. Получим

f (x + h) - f (x) = (x + h)- x = 2xh + h (1)

Чтобы приращение функции f (x) не зависело от h, нужно, чтобы выполнялось равенство 2xh = 0, то есть 2x = 0. Значит, x = 0 и вершина параболы y = x имеет координаты (0, 0). С точки зрения дифференциального исчисления мы искали такое x, что f '(x) = 2x = 0. Ферма не занимался изучением достаточных условий экстремума, но отметим все же, что в силу неравенства f (0 + h) - f (0) = h= 0 можно утверждать наличие в точке x = 0 локального минимума функции. Рассмотрим еще один пример. Пусть g(x) = x(1 - x). Имеем

g(x + h) - g(x) = x + h - (x + h)- x + x = (1 - 2x)h - h. (2)

Наибольшее значение функция g(x) имеет в точке x, где 1 - 2x = 0, то есть при x = 1/2. При этом g = 1/4.

Своим открытием Ферма перевел большой класс почти нерешаемых задач в разряд вполне разрешимых, так как для отыскания экстремума дифференцируемой функции оказалось достаточным рассматривать вместо всего множества определения функции лишь множество ее критических точек (точек, в которых производная функции обращается в нуль).

Пользуясь методом Декарта для сведения некоторых геометрических задач к задачам исследования "величин" и своим методом отыскания наибольших и наименьших значений, Ферма успешно решил задачи, часть из которых поставил сам.

Можно с уверенностью предположить, что из "Начал" Евклида Ферма знал известную задачу на отыскание максимального значения, которая теперь легко могла быть решена его методом.

Задача Евклида[1]. Из всех параллелограммов, вписанных в треугольник, найти тот, который имеет наибольшую площадь.

Эту задачу Евклид решил сам и установил, что искомым параллелограммом является тот, у которого основание вдвое меньше основания данного треугольника. Теперь же задача геометрии сводится к несложной задаче на отыскание экстремума функции. Пусть в ABC вписан параллелограмм AMND (рис. 1). Предположим, что AD = x * AC, 0 < x < 1. Из ΔABC ΔDNC следует равенство NN' = (1 - x) * BB'. Вследствие этого площадь параллелограмма

S = AC * BB' *x(1 - x) = 2Sx(1 - x),

где S - площадь треугольника. Как было показано выше, функция g(x) = = x(1 - x) имеет максимум при x = 1/2. Таким образом, S = S /2 при x = 1/2, то есть при AD = DC.

Задача Ферма. Отрезок AB разделить на отрезки AC и CB так, чтобы прямоугольник со сторонами AC и CB имел наибольшую площадь.

Предположим, что AC = x * AB, 0<x<1. Тогда CB = (1-x)AB и площадь прямоугольника S = ABx(1 - x). Таким образом, площадь прямоугольника со сторонами AC и CB имеет максимальное значение AB/4 при x = 1/2, то есть отрезок AB нужно поделить пополам.

Приводя простейшие примеры применения своего метода, Ферма указывал, что так же нужно действовать и в других случаях. Каких? Не означает ли это, что он решал более сложные задачи на отыскание экстремума, которые навели его на мысль о неком общем законе, господствующем в природе?

2. Роль принципа Ферма в оптике

. Пьер Ферма (1601-1675) выдвинул принцип, согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. Ферма руководствовался телеологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно: она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшей затратой средств. Подобные соображения, конечно, чужды науке и не могут служить обоснованием принципа Ферма. Но сам принцип (после введения некоторых уточнений) верен и может оказаться полезным при решении отдельных вопросов геометрической оптики. Это было продемонстрировано уже самим Ферма, который с помощью своего принципа вывел закон преломления Снеллиуса и получил такое же выражение для показателя преломления, что и в волновой теории света. В частности, он пришел к заключению, что скорость света в более преломляющей среде меньше, чем в менее преломляющей.

2.Для доказательства принципа Ферма допустим сначала, что показатель преломления среды меняется в пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что условия применимости геометрической оптики выполнены. Пусть в среде распространяется волна вида

E=a(r)e

(где а(r) , Ф(r) - вещественные функции координат.

Волновое число

k=/с= 2/),

например порожденная точечным источником. Ей соответствует система лучей, представленная на рис. 2.

Если эйконал Ф - однозначная функция координат, то из уравнения gradФ=ns (где s - единичный вектор нормали к фронту волны) следует, что циркуляция вектора ns по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.

 , (3)

где dl - вектор элементарного смещения вдоль этого контура. Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из лучей. Соединим их произвольной линией ADB. В силу (3)

=. (4)

На луче АСВ векторы s и dl направлены одинаково, следовательно, (sdl)=dl. На линии же ADB (sdl)=dl cos (s,dl)<dl. Поэтому

<. (5)

Знак равенства относится только к случаю, когда кривая ADB сама является лучом. Таким образом, если показатель преломления меняется в пространстве непрерывно, то оптическая длина луча между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки. Но это есть другая формулировка принципа Ферма, так как оптическая длина луча пропорциональна времени распространения света вдоль него[2].

Приведенная формулировка принципа Ферма нуждается в уточнении. В некоторых случаях она может оказаться неверной. Рассмотрим например, среду с сферически симметричным распределением показателя преломления вокруг центра О (рис. 3).

Примером такой среды может служить планетная атмосфера. Предположим, что показатель преломления меняется в пространстве так, что световой луч, выйдя из какой-либо точки перпендикулярно к радиусу, описывает окружность с центром в точке О. Пусть свет попадает из точки А в точку В по большой дуге АСВ этой окружности. Но он может пройти из А в В и по дуге ADB той же окружности, затрачивая на распространение меньшее время. Меньшее время потребовалось бы и в том случае, если бы свет избрал какой-либо другой путь, бесконечно близкий к дуге ADB. Все это противоречит принципу Ферма в приведенной выше формулировке.

Причина противоречия состоит в том, что в приведенном примере эйконал Ф не есть однозначная функция координат, как это предполагалось при выводе. Действительно, если луч описывает окружность вокруг центра О, то он вернется в исходную точку с новым значением эйконала: эйконал Ф получит приращение nl_, где l - длина описанной окружности. Если окружность описывается т раз, то приращение эйконала будет 2mп1. Это и значит, что функция Ф неоднозначна. Для справедливости принципа Ферма необходимо наложить на выбор воображаемых путей распространения света такие ограничения, чтобы эйконал Ф вел себя как однозначная функция координат. В приведенном примере этого можно достигнуть, поставив перегородку вдоль меридиональной полуплоскости ODE и ограничиваясь только такими путями, которые не пересекают эту перегородку.

Подобным приемом можно воспользоваться и во всех остальных случаях, в которых эйконал Ф оказывается неоднозначным. Впрочем, в применениях принципа Ферма достаточно ограничиться только такими путями, которые проходят бесконечно близко от действительного пути света. В этом случае надобность во введении перегородок отпадает.

.При наличии поверхностей раздела сред, на которых лучи могут испытывать отражение или преломление, в формулировку и доказательство принципа Ферма надо ввести дополнения. Пусть луч, выйдя из точки А (рис. 4), после отражений или преломлений в точках С, D_,Е, попадает в точку В. Назовем виртуальным путем света любую линию AC'D'E'B между крайними точками А и В, которая получается из ACDEB в результате бесконечно малого бокового смещения ее и отличается от нее бесконечно мало по направлению. Принцип Ферма утверждает, что оптическая длина действительного светового пути (или пропорциональное ей время распространения) стационарна[2]. Это значит, что разность оптических длин действительного и виртуального путей света есть величина более высокого порядка малости, чем боковое смещение виртуального пути относительно действительного. Только эта стационарность, а не минимальность оптической длины луча и существенна в приложениях.

При доказательстве достаточно ограничиться преломлением на одной границе. Случай отражения исследуется так же. Пусть MN - граница раздела сред 1 и 2, а АСВ - действительный луч, соединяющий течку А с точкой В (рис. 5). Вообразим два бесконечно узких пучка лучей: один в первой среде, исходящий из точки А, другой во второй среде, сходящийся в точке В. За положительные направления лучей примем направления от А к В. Выберем в этих пучках два луча АС’ и C’В, пересекающихся на границе раздела в точке С’. Кривую АС’В можно рассматривать как виртуальный путь света, так как луч С’В в общем случае отнюдь не возникает в результате преломления луча АС’ . Обозначим через  и  эйконалы рассматриваемых пучков лучей, отсчитываемые от точек А и В соответственно. Тогда

=(C) -(С). (6)

Вариация интеграла при смещении точки С в произвольную бесконечно близкою точку С’ границы раздела будет

. (7)

Если  - вектор смещения, то и аналогично  , так что

. (8)