Материал: Теория управления в информационных системах

где: |W (jw)| - модуль комплексного коэффициента передачи; j(w) - аргумент комплексного коэффициента передачи.

Зависимость величины усиления звеном синусоидального сигнала от частоты этого сигнала, т.е. зависимость модуля комплексного коэффициента передачи |W(jw)| от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) звена. Такая характеристика, построенная в логарифмической системе координат, называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Другими словами, ЛАЧХ - это зависимость 20Lg |W(jw)| (двадцати логарифмов модуля комплексного коэффициента передачи) от частоты.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) звена это зависимость аргумента j(w) его комплексного коэффициента передачи от частоты. ФЧХ показывает, на какую величину отстанет по фазе синусоидальный сигнал некоторой частоты, пройдя линейное звено, от входного сигнала. Эта характеристика также может быть построена в логарифмической системе координат, в этом случае она называется ЛФЧХ.

АЧХ и ФЧХ или ЛАЧХ и ЛФЧХ, как правило, изображаются парами, друг под другом. Это повышает наглядность и упрощает анализ свойств отдельных звеньев и систем.

Апериодическое звено

Колебательное звено

Контрольные вопросы

1.      Что такое ЛАЧХ?

2.      Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика. Это зависимость модуля выходной комплексной амплитуды в логарифмическом масштабе.

3.      Что такое ЛФЧХ?

4.      Логарифмическая фаза-частотная характеристика. Это зависимость фазы выходного сигнала от частоты в полулогарифмическом масштабе

5.      Как построить ЛАЧХ линейного звена в Vissim'e?

6.      Как построить ЛФЧХ линейного звена в Vissim’e?

7.      Выделить блок апериодического звена, нажав левую кнопку мыши за его пределами и расширив рамку до включения в нее блока. Отпустить кнопку. Блок станет черным. В меню: Analyze -->FrequecyResponse. На рабочем пространстве появятся два графика, представляющие собой ЛАЧХ и ЛФЧХ.

8.      Как влияет постоянная времени апериодического звена на ширину его полосы пропускания?

9.      Увеличение постоянной времени апериодического звена приводит к пропорциональному увеличению длительности переходного процесса и пропорциональному уменьшению полосы пропускания и частоты среза.

10.    Чему равен фазовый сдвиг (аргумент комплексного коэффициента передачи) апериодического звена на частоте w=1/T ?

11.    -45 градусов

12.    Записать выражения для передаточных функций апериодического и колебательного звеньев, пояснить названия и смысл параметров.

13.    Апериодическое звено имеет передаточную функцию вида :

где: k - коэффициент усиления; Т - постоянная времени апериодического звена.

Колебательное звено имеет передаточную функцию вида :

где:  (греческая дельта) - декремент затухания; k - коэффициент усиления; Т - постоянная времени.

14.    Какое значение декремента затухания минимизирует длительность переходного процесса колебательного звена?

Вывод:Я освоил методы анализа линейных систем с помощью программы Vissim, изучил частотные характеристики типовых линейных звеньев. Построил и проанализировал логарифмические амплитудно-частотнные (ЛАЧХ) и фазочастотной (ЛФЧХ) характеристики апериодического и колебательного звеньев.

.4 Исследование устойчивости линейной системы

Цели и задачи.

Цель работы: изучение методов анализа устойчивости и коррекции линейной системы.

Задачи работы: построение модели линейной системы; анализ частотных характеристик; коррекция системы; построение годографа комплексного коэффициента передачи контура (годографа Найквиста) системы.

Основные теоретические сведения

Линейные системы, содержащие контур из устойчивых звеньев могут быть неустойчивыми. В системах управления неустойчивость, как правило, является недопустимой, вредной. В системах генерации неустойчивость напротив, необходима.

Определение: по Ляпунову система устойчива, если по окончании воздействия она возвращается в исходное состояние.

Существуют т.н. критерии устойчивости - правила, позволяющие узнать, будет ли система устойчивой или нет по ее модели. Критерии бывают алгебраические (Гурвица, Рауса) и частотные (Михайлова, Найквиста).

По критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура не охватывал на комплексной плоскости точку с координатами (-1, j0). При этом необходимо, чтобы разомкнутый контур был устойчив.

В логарифмическом варианте формулировки критерия Найквиста для устойчивости системы необходимо и достаточно чтобы частота среза _ср была меньше частоты  [1].

Для получения системы управления хорошего или, по крайней мере, удовлетворительного качества, необходимо выполнить три условия:

·              запас  устойчивости по фазе должен составлять 35⁰..65⁰ и более;

·              запас L устойчивости по амплитуде должен быть 6..12..20 дБ и более;

·              если система статическая, то усиление ее контура должно находиться в пределах 20..40 дБ.

Контрольные вопросы

1.      Какова минимальная степень системы, состоящей из устойчивых элементов, способной быть неустойчивой?

.        Минимальная степень системы, состоящей из устойчивых элементов, способной быть неустойчивой определяется по количеству колебаний на графике. Количество этих колебаний должно стремится к нулю.

3.      Какие запасы устойчивости следует обеспечить, чтобы качество САР было удовлетворительным?

4.      Для получения системы управления хорошего или, по крайней мере, удовлетворительного качества, необходимо выполнить три условия:.        запас  устойчивости по фазе должен составлять 350..650 и более;.      запас L устойчивости по амплитуде должен быть 6..12..20 дБ и более;.          если система статическая, то усиление ее контура должно находиться в пределах 20..40 дБ.

5.      Как построить ЛАЧХ и ЛФЧХ в среде VisSim?

6.     

7.      Выделить блок апериодического звена, нажав левую кнопку мыши за его пределами и расширив рамку до включения в нее блока. Отпустить кнопку. Блок станет черным. В меню: Analyze -->FrequecyResponse. На рабочем пространстве появятся два графика, представляющие собой ЛАЧХ и ЛФЧХ.

8.      Как создать составной блок, т.е. объединить несколько блоков в одном? Как повернуть блок на диаграмме на 180⁰?

9.      Объединить выделенные элементы в один блок: EditCreateCompoundBlock.

Вывод: Яизучил методы анализа устойчивости и коррекции линейной системы. Построил модели линейной системы, анализ частотных характеристик, коррекцию системы и построил годограф комплексного коэффициента передачи контура (годографа Найквиста) системы.

Часть 2. Исследование устойчивости и качества переходных процессов системы управления при гибкой отрицательной обратной связи в Matlab

Функция fmin(funx1 x2) это функция определяет значение аргументы значения хMin функции fun из диапазона

x1<=x<=x2=0:0.1:6 ;=2.^x-4*x+6;(x,y)

Рис. 5Функция 2.^x-4*x+6

x=0:0.1:6 ;

y=2.^x-4*x+6;(x,y)=fminbnd('2.^x-4*x+6',2,4)=2.^x-4*x+6x = 2.5288y = 1.6557

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования находят широкое применение при решении дифф уравнений, вычислений предельных значений функций f(X) , исследований динамики систем управления, систем массового обслуживания и во многих других технических и научных задач. Наиболее популярными является преобразование Лапласа ,Капсона и Z-преобразования.

Преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа в функции f(x) имеет вид:

 (1)

Где f(x) функция преобразования Лапласа которую необходимо найти, если аргументом функции является время t то преобразование Лапласа имеет вид:

(2)

С помощью преобразования Лапласа можно существенно упростить решение задач связанных с определением пределов функции. Для этого служат следующие предельные теоремы:

(3)

В системе MatLab преобразование Лапласа функции f(t) осуществляется с помощью следующих встроенных функций: laplace(F), laplace(F,S), laplace(F, ω,s).

Функция laplace(F).

Функция laplace(F) - преобразование Лапласа символьной переменной F. Если функция F является аргументом t то преобразование Лапласа осуществляется по формуле (2). Если же в F аргумент tотсутствует то преобразование Лапласа осуществляется по переменной в соответствии с алфавитом переменных функции F .

syms a;(a)=1/s^2

Если необходимо найти преобразование Лапласа переменной n, представляющей собой число например n=2 то функция laplace(F)значений не дает. Это объясняется тем что в данном случае в выражении F отсутствует переменная интегрирования.

syms a b c d t w;(a+b*c)(a+d*c)(a+d*w)(a+w*t)= a/s + b/s^2= a/s + c/s^2= a/s + d/s^2= a/s + w/s^2

Функция laplace(F,s)

laplace(F,s) - преобразование Лапласа по формуле (2)

syms s;(3.5,s)=7/(2*s)

(F,s) - преобразование Лапласа по переменной ω .

Функция обеспечивает преобразование функции по формуле:

(4)

a b c x s t;(a,t,s)(t*exp(-a*t),t,s)(a+b*c,b,s)=a/s=1/(a + s)^2 =a/s + c/s^2

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Пусть имеется многоканальная система массового обслуживания с отказами. Интенсивность потока заявок на обслуживание λ , интенсивность обслуживания заявки μ , число обслуживающих каналов N=2.

Найдем теперь финальные вероятности состояний, воспользовавшись предельными теоремами (3). На основании имеем итоговую формулу:

То есть, если интенсивность потока заявок равно интенсивности обслуживания , то Рс=4/5=0,8 .

.1 Исследование переходных процессов в системах управления

Обратное преобразование Лапласа

Для получения решения системы дефиринциальных уравнений во временной области необходимо полученной решение в преобразованиях Лапласа представить в виде функции t.

 (5)

Существуют таблицы обратных преобразований различных функций однако при наличии универсальных программных средств символьной математики обращаться к ним нет необходимости:

iLaplace (L(s), t),

где L(s)- прямое преобразование Лапласа,

t- аргумент искомой функции f(t)

syms a b s t l;= (a+b*s)/ s^2;(l,t)

ответ: ans = b + a*ts t P;= (s^2+5*s+4)/(s*(s^2+5*s+5))(P,t)

ответ: P = (s^2 + 5*s + 4)/(s*(s^2 + 5*s + 5))= (cosh((5^(1/2)*t)/2) + 5^(1/2)*sinh((5^(1/2)*t)/2))/(5*exp((5*t)/2)) + 4/5

Задачи управления

При анализе систем управления задача формулируется следующим образом:

Дано: 1. Структурная схема системы(блок-схема)

. передаточные функции звеньев системы

. Значение переменных передаточных звеньев

Необходимо определить: 1. устойчивость системы управления

. качество переходных процессов

. точность системы

При синтезе системы управления задача формулируется иначе:

Необходимо создать из имеющихся звеньев структурную схему которая удовлетворяла условиям устойчивости (запас по фазе и амплитуде). Качество переходных процессов, форма переходного процесса, длительность , величина перерегулирования. Характерными особенностями исследований с помощью Matlab являются:

Простота

Высокая наглядность

Возможность получения характеристик системы практически любой сложности.позволяет: 1. исследовать устойчивость системы управления

. Получать переходные и частотные характеристики системы

. Исследовать качество переходных процессов

. Выбрать параметры звеньев. Вид , и характеристики обратной связи с целью обеспечения требуемых динамических свойств системы.

Функции Matlab для создания передаточных функций звеньев системы

Функция tf()

tf(n,m) где n- вектор коэффициента знаменателя

m - вектор коэффициента передаточной функции

функция tf() служит для функций и звеньев в целом.

Необходимо передать функцию

n = [2 5]= [1 0 2 1]=tf(n,m)

ответ: Transfer function:

s + 5

---------------^3 + 2 s + 1

Функции pole() и zero()

Предназначены для определения соответственных полюсов и нулей передаточной функции.

Они имеют вид:

pole(qs)

zero(qs)

где qs - имя передаточной функции заданной оператором tf()

Нулями передаточной функции называются корни числителя а полюсами корни знаменателя.

n = [2 5]= [1 0 2 1]=tf(n,m)= pole(q)= zero(q)

ответ: p = 0.2267 + 1.4677i

.2267 - 1.4677i

.4534=-2.5000

Функции roots(p) и poly(r)

Функции перднозначены соответственно для вычисления корней полинома и его восстановления по значениям корней.

Эти функции имеют вид:

roots(p)

poly(r)

p - вектор коэффициентов полинома

r - вектор корней полинома

= [1 3 0 4]= roots(p)= poly(r)

Ответ: r = -3.3553

.1777 + 1.0773i

.1777 - 1.0773i

=1.00003.0000-0.00004.0000

Функцияconv()(P,q),

где P,q - векторы коэффициентов полиномов P(s) и q(s)

=[3 2 1]= [1 4]=conv(p,q)

Ответ: g = 3 14 9 4

Функцияpolyval()(n,k) где n- векторполиномазначение переменной s

=[3 2 1]=polyval(p,-2)

Ответ: z = 9

Операции с передаточными функциями звеньев

Сложение передаточных функций

n1=[10]=[1 2 5]=[2 12 15]=[1 3 7 5]=tf(n1,m1)=tf(n2,m2)=z1+z2

Ответ: Transfer function:

---------------^2 + 2 s + 5

function: