Материал: Теоретические основы теплотехники 1
96
|
|
|
p |
p |
2 |
|
с2 |
|
2 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(254)
Массовая скорость потока несжимаемой жидкости на выходе из сопла,
в соответствии с уравнением (250), находится по формуле
u |
2 |
|
2 p |
p |
2 |
. |
|
|
0 |
|
|
(255)
Из соотношения (255) видно, что с увеличением по длине канала (x)
разности давления (р0 - рx), повышается массовая скорость потока. При этом,
исходя из принципа неразрывности потока (G = idem), площадь проходного
сечения канала
f
G u
, должна непрерывно уменьшаться. Следовательно,
при истечении несжимаемой жидкости следует применять суживающиеся сопла.
Истечение сжимаемых жидкостей
К классу сжимаемых жидкостей относятся вещества, плотность кото-
рых изменяется в зависимости от давления и температуры. Газы (идеальные и реальные) относятся к классу сжимаемых жидкостей.
Потенциальная работа обратимого адиабатного процесса истечения га-
за от нулевого до конечного состояния (0-2) находится из соотношения
w |
|
k |
|
|
|||
0 ,2 |
|
k 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
||
|
|
k |
|
|
||||
p v |
1 |
|
|
|
|
|
. |
(256) |
|
|
|||||||
0 0 |
|
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки выражения (256) в соотношение (248) получаем формулу для расчета скорости истечения газа в выходном сечении сопла
97
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
p2 |
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c2 |
|
2w0 ,2 |
|
|
p0v0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
k 1 |
|
p |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(257)
Для вычисления массовой скорости газа по уравнению
необходимо знать плотность газа в выходном сечении сопла (
которой определяется из уравнения адиабаты |
k |
k |
|||||||
p0v0 |
p2v2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
p |
2 |
k |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
v |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
(
2
u2
),
c2 |
2 ) |
значение
(258)
После ряда несложных преобразований получим соотношение для рас-
чета массовой скорости газа в выходном сечении сопла
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
p |
|
p |
|
|
k |
|
p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||
u |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k 1 |
v |
1 |
|
|
|
p |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем в уравнение (259) коэффициент расхода λ
|
k |
|
|
p2 |
|
k 1 |
|
p2 |
|
2 |
||
|
|
|
k |
|
k |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k
.
(259)
(260)
и получим следующее соотношение для определения массовой скорости газа на выходе из сопла
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 |
p0 |
. |
(261) |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
v0 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Анализ уравнения (259) для массовой скорости потока показывает, что скорость газа изменяясь в зависимости от соотношения давлений в процессе
98
истечения p2 / p0 , дважды обращается в нуль - при р2/р0 = 1 (нет движе-
ния), а также при p2 / p0 = 0 (истечение в вакуум, р2 = 0). Следовательно,
значение массовой скорости, по теореме Ролля, проходит через экстремум
(рис. 23). Соотношение давлений, при котором массовая скорость истечения
становится максимальной
(
umax
), называется критическим (
p2 p0
кр
), а
режим истечения при этом условии называется критическим режимом исте-
чения.
Рис. 23. Зависимость линейной и массовой скоростей истечения газа от соотношения давлений в процессе истечения
99
Для определения характеристик критического режима истечения обо-
значим через ψ члены уравнения (259), зависящие от величины |
|
p2 |
|
p0 |
|||
|
|
(остальные члены зависят лишь от параметров исходного состояния и приро-
ды газа)
1
p |
2 |
|
|
|
|
||
p |
|
||
|
|||
0 |
|||
k1 k
|
|
|
|
||
|
||
|
||
|
||
|
|
|
|
||
|
|
p2 p0
2 k
.
(262)
Введем в уравнение (262) дополнительно характеристику адиабатного расширения газа
Тогда
так как
p2v2 p0v0
1
|
|
k |
|
p |
2 |
|
|
|
|
||
p |
|
||
|
|||
0 |
|||
|
|
2 |
|
k 1 |
|||
1 k
,
.
(263)
(264)
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
||
|
|
|||
0 |
||||
2 k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k 1 |
k 1 |
|
|
p |
|
|
k |
|
||
2 |
|
|
||||
|
|
|
||||
p |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2k 1
.
(265)
Очевидно, что массовая скорость достигнет максимального
при таком же βкр, что и функция |
|
. Условием максимума функции |
|||||||||||||||
ся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k 1 |
0 |
. |
||||||
d |
k 1 |
k |
k 1 |
|
|
|
|
k |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
значения
являет-
(266)
100
Исходя из соотношения (266), после преобразования, находим крити-
ческое значение характеристики адиабатного расширения сжимаемых жид-
костей при истечении ( кр ) и критическое соотношение давлений ( кр ):
кр
|
|
|
|
|
2 |
|
|
кр |
|
k |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
||
кр |
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
; 1
1
k k 1
.
(267)
(268)
Подставив выражение (267) в соотношение (257), получим выражение для расчета критической линейной скорости истечения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cкр 2 |
k |
|
p0v0 1 кр |
2 |
k |
|
p0v0 . |
(269) |
||||
k 1 |
k 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом того, что справедливо следующее выражение
|
|
pv |
|
|
p0v0 |
|
кр |
, |
|
|
||||
|
|
|
||
|
|
кр |
|
получаем следующие соотношения для расчета рости истечения:
|
|
|
2k |
|
pv |
k |
c |
|
|
|
кр |
|
|
кр |
k 1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cкр |
k ( pv )кр , |
||
(270)
критической линейной ско-
1 |
|
; |
(271) |
|
(272) |
где
( pv )кр
– потенциальная функция сжимаемой жидкости в сечении сопла,
где наблюдается критическая скорость истечения (267), (270).
Для обратимого адиабатного истечения любой сжимаемой жидкости критическая линейная скорость равна местной скорости звука в данной среде
|
|
|
|
a |
k ( pv )кр . |
(273) |
|