Материал: Т2_ДГМ

ТЕМА 2. ФОРМИРОВАНИЕ КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРИ РАЗРАБОТКЕ И ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Основное назначение любого критерия оптимальности системы управления состоит в том, чтобы численно оценить качество проектируемой системы и степень успешности решения требуемых задач управления. Выбор статистических критериев качества СУ, также как и детерминированных, не может быть формализован в рамках математической теории. Однако, к любому критерию оптимальности предъявляются два общих требования:

1.Служить мерой успешности решения поставленной задачи управления;

2.Должен быть достаточно просто, чтобы можно было решить задачу определения оптимальной системы (вычисления

выбранного критерия оптимальности).

Учитывая специфику систем управления электромеханическими объектами, практически часто критерий оптимальности формируются их двух частей.

Одна из этих частей является мерой соответствия переходной характеристики проектируемой системы наперед заданной при отработке типовых управляющих воздействий. Эта часть критерия качества является детерминированной. Другая часть составного критерия является мерой успешности управления при действии на систему случайных возмущений (например, момента нагрузки, обусловленного ветровым потоком). Следовательно, вторая часть критерия качества является случайной величиной, и для ее оценки могут быть использованы числовые характеристики (среднее значение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

6

Таким образом, в общем случае критерий качества формируется из двух частей

J = Jv + Jη .

Рассмотрим практически часто применимые оценки успешности управления для обеих частей составного критерия качества.

2.1 Формирование детерминированной части составного критерия

качества

В качестве меры соответствия переходной характеристики проектируемой системы наперед заданной, широкое распространение получили интегральные критерии квадратичных форм вида:

где x-выходная переменная, движение которой анализируется при переводе системы из некоторого установившегося состояния в нулевое, γi - весовые коэффициенты при квадратах производных i-ого порядка от выходной координаты, t - время перехода СУ из одного установившееся состояния в другое.

Известно, что экстремалью для функционала (2-1) является одно из решений однородного дифференциального уравнения Эйлера-Пуассона:

в котором число членов соответствует количеству слагаемых квадратичной формы V. Под экстремалью в данном случае понимается решения такого дифференциального уравнения, которое доставляет минимальное значение выбранному функционалу. Если ограничиться первыми четырьмя членами

7

квадратичной формы под знаком интеграла в выражении (2-1) и принять во

внимание, что

то соответствующее ему уравнение Эйлера-Пуассона в операторной форме записи можно представить как:

Решение этого уравнения имеют 3 корня с отрицательной вещественной частью, а три с положительной. Практический интерес представляют устойчивые системы, поэтому в решении уравнения (2-2) следует учитывать корни только с отрицательной вещественной частью.

Таким образом, экстремалью для выбранного функционала

будет решение дифференциального уравнения третьего порядка, корни которого соответствуют корням уравнения Эйлера – Пуассона с отрицательной вещественной частью:

Отмеченный результат позволяет формировать расчет весовых коэффициентов функционала по желаемому виду движения выходной координаты, заданному однородным дифференциальным уравнением .

2.1.1 Методика формализованного выбора весовых коэффициентов в

составе интегральных критериев от квадратичных форм.

Пусть желаемое движение некоторой выходной переменной « в»

определяется переходной функцией:

8

которое при начальных условиях: в 0 1; в 0 в 0 0

является решением характеристического уравнения системы, настроенной на симметричный оптимум:

8-. 8-. 4-. 1 0 (2 - 5),

где Tm-эквивалентная малая постоянная времени, характеризующая быстродействие системы.

Чтобы решение (2-5) являлось экстремалью для функционала (2-3) ,

его весовые коэффициенты γ0 должны выбираться следующим образом:

1.Составляется дифференциальное уравнение аналогичное (2-5), но для корней расположенных в правой полуплоскости комплексной переменной p:

2.Формируется уравнение, соответствующее уравнению Эйлера – Пуассона, путём перемножения уравнений (2-5) и (2-6):

64-. 64-. 64-. 16-. 16-. 1 0 (2-7)

3.Определяются весовые коэффициенты γ0 , путём приравнивания коэффициентов этого уравнения и уравнения Эйлера-Пуассона при одинаковых степенях оператора p. Указанные действия приводят к результату:

γ 64- . ; γ 0; γ 0

Таким образом, решение дифференциального уравнения (2-5) является

экстремалью для функционала:

9

Минимизация этого функционала в процессе параметрической оптимизации системы обеспечит, если это возможно, выходной переменной « в » движение в соответствии с переходной характеристикой (2-4). Следовательно, одно из существенных достоинств критериев качества (2-1) состоит в возможности формализованного выбора таких весовых коэффициентов γ0 квадратичной формы V, при которых устанавливается соответствие между желаемым переходным процессом в проектируемой системе управления, заданным решением однородного дифференциального уравнения, и функционалом качества, подлежащим минимизации.

Пример применение изложенной методики для выбора весовых коэффициентов функционала вида

с целью обеспечения проектируемой системе наперед заданной переходной характеристики.

Пусть желаемое движение выходной переменной проектируемой системы при отработке входного ступенчатого управления задаётся решением однородного дифференциального уравнения соответствующего стандартной форме Бинома второго порядка

где ω0 - параметр определяющий время переходного процесса. Чем больше

ω0 , тем при прочих равных условиях меньше время переходного процесса.

Требуется определить весовые коэффициенты функционала

10