Курсовая работа (т): Статистический анализ данных

Для проверки гипотезы , нужно найти критические точки (U и V).

Гипотезы применяется при условии U, т.е. если статистика попадёт в область допустимых значений.

Критические точки [квантили] найдем при помощи распределения Фишера со степенями свободы =112-1=111, =102-1=101 и доверительной вероятностью P=0,95.

Подсчитаем с помощью статистического калькулятора.

Для нахождения правой критической точки V, вероятность P=1-=0,975-квантиль распределения Фишера.=112-1=111, =102-1=101 (см. Рисунок.12).

Рисунок 12.

Критическая точка V=1,4.

Для нахождения левой критической точки U. P==0,25-квантиль распределения Фишера, =112-1=111, =102-1=101. (см. Рисунок 13).

Критическая точка U=0,87.

Статистический критерий, статистика - попадает в область допустимых значений, то есть в отрезок, находящийся между критическими точками условии U; 0,871,4.

Вывод: Так как статистика  попадает в область допустимых значений, то у нас есть все основания принять выдвинутую нами гипотезу.

4.3 Гипотеза о численной величине среднего значения

Дано: случайная величина  N (12; 3) и n-выборка её значений x=( …).

Сгенерируем выборку состоящую из 112 случайных величин и найдем значения, которые понадобятся для дальнейших вычислений =18,05 -среднее выборочное значение, =2,6 - средне квадратичное отклонение.

Задача: Рассмотреть гипотезу о численной величине среднего значения.

. Дисперсия известна

Решение: Выдвинем гипотезу : =, где a=среднему значению построенной нами выборки 17,7, и её альтернативу : ≠. Проверим гипотезу  на доверительном уровне =0,05.

Статистический критерий (статистика) - Ψ= будет иметь стандартное нормальное распределение, если  верна (т.е.  =). При заданном уровне доверия =0,05.

Гипотеза применяется, если | Ψ |< . Тогда критическими значениями будут =-, =.

Подсчитаем статистику, Ψ== =-1,65.

Найдем критическую точку  с помощью нормального распределения где P=1- =0,975-квантиль нормального распределения в статистическом калькуляторе (см. Рисунок 14).

Рисунок 14.

=1,96 - критическая точка.

Видно, что | Ψ |< , -1,65<1,96 - статистика меньше критической точки.

Вывод: так как критическая точка оказалась меньше , чем статистика Ψ, то у нас есть все основания принять выдвинутую нами гипотезу.

2) Дисперсия неизвестна.

Дано: случайная величина  N (12; x) и n-выборка её значений

x=( …).

Решение: Выдвинем гипотезу : =, где a=среднему значению построенной нами выборки 17,7, и её альтернативу : ≠. Проверим гипотезу  на доверительном уровне =0,05.

В этом случае в качестве статистики берут - Ψ=,- средне квадратичное отклонение. Установлено, что статистика Ψ будет иметь распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы. Для заданного уровня доверия =0,05, гипотеза принимается, если |Ψ|< .

Подсчитаем статистику Ψ===0,2 и критические точки с помощью распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы.=1-=0,975-квантиль распределения Стьюдента, df=112-1=111-степени свободы в статистическом калькуляторе (см. Рисунке 15).

Рисунок 15.

=1,98 - критическая точка.

Видно, что |Ψ|< , 0,2<1,98 - статистика меньше, чем критическая точка.

Вывод: так как оказалось, что статистический критерий меньше критической точки, то у нас есть все основания для того чтобы принять выдвинутую нами гипотезу.

.4 Гипотеза о численном значении дисперсии

Дано: случайная величина  N (12; 3) и n-выборка её значений

x=( …).

Сгенерируем выборку и найдем значения, которые понадобятся для дальнейших вычислений среднее выборочное значение ==7,29 и дисперсия ==9

Задача: Проверить гипотезу о численном значении дисперсии.

Решение: Выдвинем гипотезу : =, где построенной нами выборки 9 и её альтернативу : ≠. Проверим гипотезу  на доверительном уровне =0,05.

В качестве статистики выбираем величину равную -

Ψ=,

Где  - выборочное среднее значение выборки, -дисперсия выборки.

Подставим все известные значения в формулу и подсчитаем

Ψ==89,91

Статистический критерий будет иметь хи-квадрат распределение с n-1 степенями свободы. Для заданного уровня значимости а=0,95 найдем критические точки U и V.

Гипотезу принимаем при условии, если Ψ V.

Найдем критические точки с помощью распределения хи-квадрат распределение с 111 степенями свободы в статистическом калькуляторе.

При квантиле t=1-0,025=0,975 и степенью свободы df=111 (см. рисунок 16).

Рисунок 16.

Правая критическая точка V=142,048.

При квантиле t=0,025 и степенью свободы df=111 (см. Рисунок 17).

Рисунок 17.

Левая критическая точка U=83,73

Видно, что статистический критерий Ψ, попал в отрезок , находящийся между критический точками U и V,т.е. в область допустимых значений. 83,73<89,91<142,048.

Вывод: Так как значение статистического критерия Ψ лежит в области допустимых значений, то у нас есть все основания, для того чтобы принять выдвинутую нами гипотезу.

.5 Проверка гипотезы о виде закона распределения

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Дано: случайная величина  N (12; 3) и n-выборка её значений

x=( …).

Задача: Проверить гипотезу о том, что закон распределения случайной величины нормальный.

Гипотеза применяется, если значения  попадёт в область допустимых значений, т.е. окажется в промежутке между критическими точками V<<U.

Решение: Сгенерируем выборку, состоящую из 112 случайных величин и найдем минимальное и максимально значение ряда: =5,188 и =20,77.

Использую выборку, построим гистограмму распределения (см. Рисунок 18).

Рисунок 18.

На рисунке видно, что математическое ожидание выборки а=18,1, среднее квадратическое отклонение S=2,4.

Далее, нужно по гистограмме, нужно подсчитать сколько элементов выборки попало в каждый интервал.

В интервал от 10 до 12: 1 элемент, от 12 до 14: 6 элементов, от 14 до 16: 14 элементов, от 16 до 18: 37 эл, от 18 до 20: 34 эл, от 20 до 22: 20 эл, от 22 до 24: 5 эл, от 24 до 26: 1 эл.

С помощью нормального распределения N(12; 3) найдем вероятности попадания, элементов выборки во все интервалы, воспользовавшись вероятностным калькулятором.

=0,004- вероятность, попадания элементов выборки левее интервала 10 (см. Рисунок 19).

Рисунок 19.

Подсчитаем так для всех интервалов:

=0,005978;=0,044499;

,187280;,470020;,769598; ,939461; ,990936. ,999253.

Далее найдем - вероятность попадания элементом в каждую выборку.

=-; - и так далее для каждой выборки.

Таблица 3

В таблице:  - количество элементов, попадающих в каждый интервал.

Для того чтобы найти значение , необходимо использовать формулу: