Курсовая работа (т): Статистический анализ данных
Статистический анализ данных
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Южный федеральный университет
Факультет электроники и приборостроения (ФЭП)
Кафедра
информационных измерительных технологий и систем (ИИТиС)
Пояснительная записка к курсовой работе
Статистический
анализ данных
Выполнил:
Косторниченко В.Г.
Таганрог
2013 г.
Задание
|
Вариант - №12 |
|
Объем выборки Х1 = 112 |
|
Объем выборки Х2 = 102 |
|
Дисперсия = 3 |
|
Математическое ожидание = 12 |
В ходе курсовой работы необходимо выполнить статистические задачи:
. Построить гистограммы распределения и эмпирической функции распределения
. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания:
С известной дисперсией.
С неизвестной дисперсией.
. Проверить статистические гипотезы:
Гипотеза о численной величине среднего значения.
Гипотеза о числовом значение дисперсии.
Гипотеза о равенстве средних значений.
Гипотеза о равенстве дисперсий.
Гипотеза о виде распределения выборки.
Оглавление
гистограмма распределение интервал дисперсия
1. Цель работы
. Построение гистограммы и эмпирической функции распределения
. Нахождение доверительного интервала
.1
Нахождение доверительного интервала для оценки математического нормального
распределения при известной дисперсии 
3.2
Нахождение доверительного интервала при неизвестной дисперсии
4. Проверка статистической гипотезы
.1 Проверка гипотезы о равенстве средних значений
.2 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
4.3 Гипотеза о численной величине среднего значения
.4 Гипотеза о численном значении дисперсии
.5
Проверка гипотезы о виде закона распределения
1. Цель работы
В данной курсовой работе проводится анализ данных двух выборок, состоящих из 112 и 102 случайных величин. Данные выборок получены в программе "Statistica" с помощью формулы
(k/4)+k,
где k - мой порядковый номер в списке журнала,
отсюда получаем формулу = RndNormal(3)+12.
|
|
Var1 |
|
1 |
13,90844 |
|
2 |
16,26087 |
|
3 |
14,5209 |
|
4 |
12,03951 |
|
5 |
8,733121 |
|
.. |
…………. |
|
112 |
8,851047 |
|
|
Var1 |
|
1 |
9,76348529 |
|
2 |
9,81413258 |
|
3 |
10,6819403 |
|
4 |
9,42766778 |
|
5 |
9,75843679 |
|
.. |
................ |
|
102 |
9,42001527 |
2. Построение гистограммы и эмпирической функции
распределения
Гистограмма- это способ представления статистических данных в графическом виде - в виде столбчатой диаграммы. Она отображает распределение отдельных измерений параметров изделия или процесса. Иногда ее называют частотным распределением, так как гистограмма показывает частоту появления измеренных значений параметров объекта.
Выборка 
.
1. Сгенерируем выборку ,состоящую
из 112 случайных величин.
. Найдем наименьший и набольший элемент в выборке: Xmin=5,188972; Xmax=20,77344.
. Для упрощения процедуры обработки и с целью уменьшения ошибок при вычислениях вычтем из каждого элемента ряда постоянное число (например, округленное Xmin) и используем в расчетах не сами размеры, а их отклонениями.
Наименьший элемент ряда Xmin=5,188972, округлим его до 6 и вскоре вычислим из каждого элемента выборки.
. Для группировки данных необходимо: 1) Разбить
весь диапазон R = Xmax -Xmin = 20,77344- 5,188972= 15.584468 (округлим до 16)
на r интервалов. Число интервалов r устанавливают в зависимости от числа
наблюдений n: для 112 наблюдений удобно взять r=12. 2) Назначить длину
интервалов по формуле Dx = R/r=16/12 =1.3. 3) Подсчитать
количество попаданий размера 
в интервал 
<
£
Таблица 1.
|
Номера интервалов |
Границы интервалов, <размерность> |
Частота, mi |
Частость |
Эмпирическая плотность вероятности pi |
Середина интервала xi |
|
|
|
xн |
xв |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0.2 |
2 |
0,018 |
0,018 |
0,1 |
|
2 |
0.2 |
0.4 |
5 |
0,045 |
0,046 |
0.3 |
|
3 |
0.4 |
0.6 |
12 |
0,109 |
0,109 |
0.5 |
|
4 |
0.6 |
0.8 |
19 |
0,173 |
0,174 |
0.7 |
|
5 |
0.8 |
1 |
24 |
0,218 |
0,218 |
0.9 |
|
6 |
1 |
1.2 |
17 |
0,155 |
0,155 |
1.1 |
|
7 |
1.2 |
1.4 |
18 |
0,164 |
0,164 |
1.3 |
|
8 |
1.4 |
1.6 |
2 |
0,018 |
0,018 |
1.5 |
|
9 |
1.6 |
1.8 |
6 |
0,055 |
0,055 |
1.7 |
|
10 |
1.8 |
2 |
5 |
0,045 |
0,046 |
1.9 |
|
|
|
|
|
|||
112
1
Сумма всех частот равна количеству случайных величин в выборке и сумма всех частостей равна единице, следовательно, мы не допустили ошибку.
В таблице:
Частота - количество элементов выборки, попадающих в интервал.
Частость - отношение частоты 
к
общему числу наблюдений n:
- представляет
собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений Хj в i
интервал. Сумма всех частостей равна единицы.
Эмпирическая плотность вероятностей равна:
.
Середины интервалов необходимы для дальнейших геометрических построений.
Построение гистограммы распределения
Для построения гистограммы по оси абсцисс
указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники,
высота которых пропорциональна частотам.
Рисунок 1.
Построение эмпирической функции распределения.
Для эмпирической функции распределения на оси
абсцисс указывают значения границ интервалов, а на оси ординат вероятности
попадания случайных величин левее интервала. (Рисунок 2).
Рисунок 2.
Выборка 
.
. Сгенерируем выборку 
,
состоящую из 102 случайных величин.
. Найдем наименьший и набольший элемент в выборке Xmin=8,97239964; Xmax=19,30817.
.Наименьший элемент ряда Xmin=3,580073, округляем до 4 и вычислим из каждого элемента выборки.
. Для группировки данных необходимо: 1).Разбить
весь диапазон R = Xmax -Xmin =19,30817-3,580073=15,728097 (округляем до 16) на
r интервалов. Число интервалов r устанавливают в зависимости от числа
наблюдений n: для 102 наблюдений, возьмем r=12.2). Назначить длину интервалов
R/r=16/12=1.3 3).Подсчитать количество попаданий размера 
в
интервал 
<
£
.Далее
заполним таблицу.
Таблица 2.
|
Номера интервалов |
Границы интервалов, <размерность> |
Частота, mi |
Частость,
|
Эмпирическая плотность вероятности pi |
Середина интервала xi |
|
|
|
xн |
xв |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0.2 |
3 |
0.03 |
0.04 |
0,1 |
|
2 |
0.2 |
0.4 |
1 |
0.01 |
0.02 |
0.3 |
|
3 |
0.4 |
0.6 |
13 |
0.13 |
0.13 |
0.5 |
|
4 |
0.6 |
0.8 |
13 |
0.13 |
0.13 |
0.7 |
|
5 |
0.8 |
1 |
22 |
0.22 |
0.22 |
0.9 |
|
6 |
1 |
1.2 |
15 |
0.15 |
0.15 |
1.1 |
|
7 |
1.2 |
1.4 |
12 |
0.12 |
0.12 |
1.3 |
|
8 |
1.4 |
1.6 |
13 |
0.13 |
0.13 |
1.5 |
|
9 |
1.6 |
1.8 |
7 |
0.07 |
0.07 |
1.7 |
|
10 |
1.8 |
2 |
1 |
0.01 |
0.02 |
1.9 |
|
|
|
|
|
|||
110
1
Сумма всех частот равна количеству случайных величин в выборке и сумма всех частотностей равна единице, следовательно, мы не совершили ошибку.
Построение гистограммы распределения.
Для построения гистограммы по оси абсцисс
указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники,
высота которых пропорциональна частотам. (Рисунок 3).
Рисунок 3.
Построение эмпирической функции распределения.
Для эмпирической функции распределения на оси
абсцисс указывают значения границ интервалов, а на оси ординат вероятности
попадания случайных величин левее интервала. (Рисунок 4).
Рисунок 4.
3. Нахождение доверительного интервала
Доверительным называется интервал, который с
заданной надежностью 
покрывает
оцениваемый параметр.
Квантиль в математической статистике - значение,
которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.
.1 Нахождение доверительного интервала для
оценки математического нормального распределения при известной дисперсии
Пример 1. Пусть среднее квадратическое
отклонение нормально распределенного признака X генеральной совокупности равно
0.4, а-математическое ожидание неизвестно; объём выборки n равен 112 и
выборочное среднее (mean) 
=12
Задача: Найдем доверительный интервал, который покроет математическое ожидание а с доверительной вероятностью P=0,9
Решение: Сгенерируем выборку, состоящую из 112 элементов и найдем среднее квадратичное отклонение выборки S=0,4 .
Для оценки математического ожидания служит
интервал:
a
+
,
где -выборочное
среднее, n - объём выборки, 
квантиль
нормального распределения N(1;0) и уровнем надежности a=0,05, -дисперсия
выборки.
Все величины, квантиля - 
известны.
Найдем с
помощью нормального распределения N (0;1) в статистическом калькуляторе.
(Рисунок 5).
Рисунок 5.
1,644854
1,64
-квантиль нормального распределения.
Подставим все известные значения в формулу и
подсчитаем:
*a
+
.
11,53
a
или
-1,04a0,83
Таким образом, делаем вывод , что доверительный интервал (-1,04; 0,83) с вероятностью P=0,9 покрывает математическое ожидание данной выборки.
Пример 2. Пусть среднее квадратическое
отклонение нормально распределенного признака X генеральной совокупности равно
0,4, а-математическое ожидание неизвестно, объём выборки n равен 102 и
выборочное среднее (mean) =9.9,
Задачa: Найти доверительный интервал, который покроет математическое ожидание выборки с доверительной вероятностью α=0,95.
Решение: Сгенерируем выборку, состоящую из 102 элементов и найдем среднее квадратическое отклонение S=0,4.
Для оценки математического ожидания служит
интервал:
a
+
,
где -выборочное
среднее,
n - объём выборки,
- квантиль
нормального распределения с уровнем надежности a, -дисперсия
выборки
Известны все величины, кроме квантиля - .
Найдем с
помощью нормального распределения N (0;1) в вероятностном калькуляторе
(Рисунок. 6).
Рисунок 6.
1,6744901,68
-квантиль нормального распределения.
Подставим все известные значения в формулу и подсчитаем:
a
+;
a
0,095+
;