Курсовая работа (т): Статистический анализ данных

a 1,14;

Таким образом, можно сделать вывод о том, доверительный интервал () с доверительной вероятностью a=0,95, покроет математическое ожидание выборки.

3.2 Нахождение доверительного интервала при неизвестной дисперсии

Пример 1. Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение неизвестно. Требуется оценить математическое ожидание при помощи доверительного интервала. Объём выборки n равен 112, среднее значение (mean) = -0,106; среднеквадратичное отклонение (St. Dev.) = 2,44.

Задача: Найти доверительный интервал, который покроет математическое ожидание выборки при доверительной вероятностьи а=0,9 .

Решение: Для нахождения доверительного интервала мы воспользуемся распределением Стьюдента и формулой:

(n-1)(n-1),

где - среднее выборочное значение;

S - среднеквадратичное отклонение;

A - коэффициент надежности (а=1-0,9=0,1),

(n-1)квантиль распределения Стьюдента с n-1 - степенями свободы.

Квантиль распределения Стьюдента (n-1)- найдем при помощи статистического калькулятора.

Df = 112-1=111- степени свободы; P=1-=1-=0,95- доверительная вероятность, а=0,1 -коэффициент надежности. Подсчитаем в статистическом калькуляторе. (Рисунок 7).

Рисунок 7.

1,65-квантиль распределения Стьюдента.

Подставим все полученные значения в формулу и получим:

(N-1)(N-1);

 или -0,366 < m < 0,184.

Вывод: Доверительный интервал (-0,366; 0,184) покроет математическое ожидание выборки с доверительной вероятностью а=0,9.

Пример 2. Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение неизвестно. Требуется оценить математическое ожидание при помощи доверительного интервала. Объём выборки n равен 102, среднее значение (mean) = -0,04; среднеквадратичное отклонение (St. Dev.) = 2,17.

Задача: Найти доверительный интервал, который покроет математическое ожидание с доверительной вероятностью а=0,95.

Решение: Для нахождения доверительного интервала мы воспользуемся распределением Стьюдента и формулой:

(n-1)(n-1),

где -среднее выборочное значение; S-среднеквадратичное отклонение; a- коэффициент надежности (а=1-0,9=0,1), (n-1)квантиль распределения Стьюдента с n-1 - степенями свободы.(n-1)- найдем при помощи распределения Стьюдента.= 102-1=101-степени свободы, P=1-=0,975-доверительная вероятность, а=0,05-коэффициент надежности. Подсчитаем в статистическом калькуляторе (Рисунок 8).

Рисунок 8.

=1,99-квантиль распределения Стьюдента.

Подставим все полученные значения в формулу и получим:

(n-1)(n-1);

 или -0,47 < m < 0,04.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что доверительный интервал

(-0,47; 0,04) покроет математическое ожидание выборки с доверительной вероятностью а=0,95.

4. Проверка статистической гипотезы

Статистическая гипотеза - это любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений.

Проверить статистическую гипотезу - значит проверить, согласуются ли выборочные данные с выдвинутой гипотезой.

Для проверки гипотезы, нужно подсчитать статистический критерий (случайнаую величину, которая используется с целью проверки нулевой гипотезы), который обозначается буквой  и посмотреть попадает ли он в область допустимых значений, т.е. область множества возможных значений статистического критерия, в которой гипотеза принимается.

Критические точки [квантили] - это точки, которые разграничивают критическую область и область принятия гипотезы.

Уровень значимости - это вероятность совершить ошибку.

.1 Проверка гипотезы о равенстве средних значений

). Дано: Пусть  N (12; 3),  N (12; 3) и дисперсии  и  известны.

Имеются выборки x=( …) и y= ( …)из генеральных совокупностей  и .

Сгенерируем выборки X и Y, состоящие из 112 и из 102 случайных величин. Найдем среднее значение выборки X = и среднее значение выборки Y =.

Задача: Проверить гипотезу о том, что действительно ли средние распределение двух выборок равны, т.е. равны ли математические ожидания двух выборок.

Если гипотеза  выполняется, то статистика = будет иметь стандартное нормальное распределение N (1;0) и доверительную вероятность, близкую к 1. Гипотеза  применяется, если <, т.е. если значение статистики окажется меньше значения критической точки [квантиля].

Проверим гипотезу: Подставим все известные значения в формулу и подсчитаем статистику.

 =  ==  =

= = -1.069.

Критическую точку  найдем при помощи нормального распределения N (0;1) при доверительной вероятности P=1-=0,975,где 0,05 -уровень значимости. Подсчитаем при помощи статистического калькулятора. (Рисунок 9).

Рисунок 9.

Критическая точка равна =1,96.

Проведя расчёты, мы видим, что 1.812 <1,96, ⃒ - значение случайной величины меньше значения критической точки.

Вывод: Так как значение статистики  получилось меньше значения критической точки , то у нас есть все основания полагать, что выдвинутая нами гипотеза окажется верной.

2). Дисперсии  и  неизвестны, но равны.

Задача: Проверить гипотезу о равенстве дисперсии у выборок.

Решение: Выдвинем гипотезу  : = ,, при этом  : ≠, где -математическое ожидание выборки X, -математическое ожидание выборки Y.

Доказано, что в случае справедливости гипотезы, о том что математические ожидания двух выборок будут равны, статистика -

Будет иметь распределение Стьюдента с k=+-2 степенями свободы,

где  и  выборочные дисперсии, - средние значения выборок.

В этом случае гипотеза применяется , если < <, т.е. если статистика окажется в области допустимых значений, находящимся между критическими точками.

Проверим гипотезу: найдем выборочные дисперсии для выборок -

Подставим в формулу все известные значения и вычислим статистику

 =  =

= =  =  =-0.0140

При помощи распределения Стьюдента с k= по заданной доверительной вероятности P=0,95 найдем критические точки, воспользовавшись статистическим калькулятором.

=1-=0,975-квантиль распределения Стьюдента, где 0,05 - уровень надежности. df=112+102 -2 =212 -степени свободы. (Рисунок10).

Рисунок 10.

- правая критическая точка равна 0,83.

==0,025-квантиль распределения Стьюдента. df=212-степени свободы (см. Рисунок 11).

Рисунок 11.

- левая критическая точка равна -1,97.

Случайная величина  (статистика) попадает в область допустимых значений, т.е. в промежуток между критическими точками 0,0140 <0,834643.

Вывод: так как случайная величина попадает в область допустимых значений, то у нас есть все основания принять выдвинутую нами гипотезу.

4.2 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

Гипотезы о дисперсиях возникают довольно часто, поскольку дисперсия характеризует такие важные показатели, как точность приборов, технологических процессов, риск, связанный с отклонением доходности от заданного уровня, и т.д.

Дано: пусть имеются две выборки x=( …) и y= ( …) из генеральных совокупностей  N (12; 3) и  N (12; 3).

Сгенерируем выборку Х, состоящую из 112 случайных величин и найдем среднее выборочной квадратичное отклонение .

Сгенерируем выборку Y, состоящую из 102 случайных величин и найдем среднее выборочное квадратичное отклонение

Задача: Проверить гипотезу о равенстве дисперсия у выборок.

 =  против альтернативной - ≠ .

Решение: для проверки гипотезы о равенстве дисперсий у выборок, используют статистический критерий -

;

которая имеет распределение Фишера со степенями свободы ( и (.

Подставим в формулу все известные значения и подсчитаем

==.