Материал: Розв’язання алгебраїчних рівнянь в радикалах

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

.

Уведемо позначення

і приходимо до рівняння

, , .

З рівняння

,

Приклад 4. Розв’язати рівняння:

Знайдемо спочатку ОДЗ із нерівностей

Винесемо загальний множник

Зведемо обидві частини рівняння до квадрату

,

Або

, .

Приклад 5. Розв’язати рівняння

Винесемо корінь четвертого ступеня за дужки

, , , .

Приклад 6. Розв’яжемо рівняння

.

Уведемо позначення

,

і при цьому приходимо до системи алгебраїчних рівнянь

У першу чергу виключаємо невідоме .

Звідси знаходимо розв’язок , ,

IV. АКТУАЛЬНІСТЬ ДОСЛІДЖУВАНОЇ ТЕМИ

У наш час тема «Розв’язання алгебраїчних рівнянь в радикалах» дуже актуальна тема. Адже її можна застосовувати на практиці для вирішення кола задач. Прикладом цього є задачі, які виникають у геодезії. Геодезія - це наука про методи визначення фігури і розмірів Землі, зображення земної поверхні на планах і картах і точних вимірювань на місцевості, повязаних з розвязанням різних наукових і практичних завдань. Вона тісно повязана з математикою, фізикою, радіоелектронікою, геофізикою, астрономією, картографією, географією, геоморфологією, геоінформатикою.

Практична цінність чисельного методу в значній мірі визначається швидкістю та ефективністю отримання розвязку. Вибір необхідного алгоритму для розвязку рівнянь залежить від характеру задачі, яка розглядається.

Останнім часом алгебраїчні рівняння вище другого ступеня є частиною випускних іспитів за курс середньої школи, вони зустрічаються на вступних іспитах до ВНЗ, а також є невід'ємною частиною ЄДІ.

V. ВИСНОВКИ

Більше чотирьох тисяч років людство вміє розв’язувати задачи, які призводять до рівнянь. Ахмес, творця папіруса Райда, говорив, що переписав задачі зі старих рукописів, щоб усунути всі таємниці, «які приховують в собі речі».

Очевидно, в ті часи знання математики доступні були не багатьом. І все-таки на протязі двох тисяч років володіння деякими, не надто поверхневими, знаннями в області математики було необхідною складовою частиною в інтелектуальному інвентарі кожної освіченої людини.

В 1968 р. видавництво «Мир» видало «Алгебру» С. Легнга. Епіграфом книги є слова: «Мені подобається її називати (абстрактною алгеброю) а не сучасною алгеброю, тому що вона, несумнівно, буде довго жити і в кінці-кінців стане древньою алгеброю». Проста і глибока думка, яка оточує істоту розвитку.

Якщо читач, знайомий зі шкільною математикою або навіть з математикою технічного вузу, перелестає «Алгебру» Ленга.

Задачами алгебри XVII - XVIII ст.. були перетворення буквенних виразів, розв’язання алгебраїчних рівнянь. У відповідності з цим одне із кращих керівництв того часу, «Введення в алгебру» Ейлера, містило виклад теорії цілих чисел і дробів, коренів, розв’язання рівнянь до четвертої степені включно. Ці розділи становили програму алгебри в дореволюційних гімназіях і майже всі вивчаються в середніх школах в наш час.

В XVIII - XIX алгебра стала перш за все стала алгеброю рівнянь; основною задачею її стало розв’язання рівнянь з одним невідомим. Після того, як зусиллями Кардано та Феррарі були знайдені способи розв’язання рівнянь третьої на четвертої степені, на протязі майже трьох століть робилися спроби знайти формули для знаходження коренів рівняння більш високих степенів через їх коефіцієнти.

Паралельно з побудуванням методів точного розв’язку рівнянь розроблялися приближені методи, і доволі успішні.

Думається, не викличе заперечень твердження, що якщо в результаті точного розв’язання деякого рівняння отримано значення його кореня х = , то воно нітрохи не краще найденого наближеним методом х = 1,41. Отже, математики, відшукуючи методи точних розв’язань рівнянь, розглядали принципіальну задачу і діяли лише в тому випадку, як кажуть в народі, «за характером».

Безуспішні спроби закінчились тим, що в 1824 р. Н. Абель довів нерозв’язність рівнянь вище четвертої степені в загальному випадку, а в 1830 р. Е. Галуа установив критерії розв’язання алгебраїчних рівнянь в радикалах.

В кін. XVIII ст.. К. Гаус довів основну теорему алгебри про існування кореня алгебраїчного рівняння.

Крім того, математики, які побачили можливість долати труднощі, здобули впевненість в своїх силах, що допомогло в подальшому розвитку науки.

VI. СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Выгодский М. Я. «Арифметика и алгебра в древнем мире». - 2-е изд. - М.: Наука, 1967

. Стройк Д. Я. «Краткий очерк истории математики». - изд. - М.: Наука, 1984

. Никифоровский В. А. «Из истории алгебры XVI - XVII вв.» - академия наук СССР. - серия «История науки и техники». - изд. М.: Наука, 1979

. Р. С. Гутер, Ю. Л. Полунов «Джон Непер». - изд. М.: Наука, 1980.

. В. І. Коба, О. Т. Чуб, М. А. Нікулін «Бесіди про рівняння». - вид. К.: Радянська школа, 1986