Материал: Розв’язання алгебраїчних рівнянь в радикалах

Розв’язання алгебраїчних рівнянь в радикалах

ЗМІСТ

I. ВСТУП. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

.1 Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені в Індії та Греції

.2 Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь

.3 Історія розв’язання рівнянь в третій та четвертій степені видатних математиків (Дель Ферро, Дж. Кардано, Феррарі)

.4 Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів

.4.1 Теорема Руффіні

.4.2 Теорема Абеля. ПРАКТИКО-МЕТОДОЛОГІЧНИЙ МАТЕРІАЛ. АКТУАЛЬНІСТЬ ДОСЛІДЖУВАНОЇ ТЕМИ. ВИСНОВКИ. СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

алгебраїчне рівняння радикал теорема

I. ВСТУП

Математика - одна з найстародавніших наук. Вона зародилась на зорі людської цивілізації з потреб практики.

Роль математики в різних галузях людської діяльності з часом змінювалася, причому найістотніше залежала вона від двох факторів: рівня розвитку математичного апарату і ступеня зрілості знань про той чи інший досліджуваний об’єкт, тобто можливості описати найістотніші його властивості мовою математичних понять або, як тепер прийнято говорити, можливості побудувати математичну модель цього об’єкта.

Одним з основних видів математичних моделей, що розглядаються в шкільному курсі математики, є рівняння.

Вивчення починається з найпростішого випадку одного рівняння першого степеня з одним невідомим, а потім поглиблюється в двох напрямах: 1) розглядаються системи двох і трьох рівнянь першого степеня з двома, і відповідно, трьома невідомими; 2) вивчається одне квадратне рівняння з одним невідомим і деякі окремі типи рівнянь, що легко зводяться до квадратних.

Перш ніж перейти до поглибленого розгляду одного з цих напрямів у теорії розв’язування рівнянь, розглянемо коротко основні етапи її розвитку.

Метою мого дослідження є поглиблене ознайомлення з розв’язанням алгебраїчних рівнянь в радикалах, ознайомлення з історією про алгебраїчні рівняння в радикалах.

II. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

.1 Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції

Розв’язування найпростіших рівнянь першого та другого степеня займалися ще вавилонські, єгипетські, а згодом давньогрецькі математики. Звичайно, способи розв’язування, позначення та термінологія були іншими. Зокрема, усі проміжні обчислення було потрібно тримати в пам’яті, а дії з числами виражати словами.

В XVII століття в постійному багато столітньому розвитку математики відбувся стрибок, до виникнення нової математики, що став робочим інструментом наукового природознавства, основи якого в той час закладалися.

Розвиток нових методів став можливим завдяки тому, що нова математики була побудована на базі алгебри і користувалася лише єдиною символічною мовою. Це створило передумови для побудови абстрактних понять математики. Проникнення алгебри в математику і суміжні науки дозволило розробити алгоритми,застосовані до задач окремих класів, системи з характерними правилами перетворень і специфічною символікою. Відкриття алгоритма диференціального та інтегрального обчислень Ньютона (1643-1727) і Лейбніцем (1646-1716) в кінці XVII ст. передували значні досягнення в алгебрі: розв’язання рівнянь першої та другої степені, введення в алгебру єдиної алгебраїчної символіки.

Алгебричні рівняння 1-го степеня з одним невідомим розв'язували вже в давньому Єгипті <#"732227.files/image001.gif">)2 - 2.

Звісно ж, що при такій побудові відшукувалися лише додатні корені рівняння: від’ємні числа з’явилися в математиці пізніше.

Грецькі математики намагалися, принаймні в теоретичних дослідженнях, не вдаватися до чисельного подання величин, а виконувати лише геометричні побудови за допомогою циркуля та лінійки.

Можливо, це пояснюється тим, що вони знали про існування відрізків, не сумірних з одиницею довжини.

У цьому численні прямокутник, утворений відрізками а та b розглядається як їх добуток. Співвідношення між площинами відіграють роль алгебраїчних формул.

В цю епоху з’явився професійний вчений - людина, яка присвятила своє життя розвитку науки, і який за це отримав винагороду. Евклід є один із найзнаменитіших математиків всіх часів.

З задачами на екстремум давні греки зустрілися в зв’язку із питанням розв’язку рівнянь. Ще Евклід розглядав квадратне рівняння виду

( a - x ) = M

і установив, що воно має додатній розв’язок за умови:

≤ 2.

Про життя Евкліда людство не має ніяких достовірних даних. Можливо, він жив в часи першого Птолемея (306-283), якому, згідно з переданим, він заявив, що до алгебри та геометрії немає «царської дороги». Його найбільш знаменитий і найбільш видатний твір - тринадцять книг його «Начал», але йому приписують декілька інших трудів. Це так звані «Дані», які містять в собі що ми б назвали додатки з алгебри та геометрії, але все це викладено строго геометричною мовою.

Так, у «Началах» Евкліда (III ст.. до н.е.) знаходимо геометричні розв’язання ряду квадратних рівнянь, доведення тотожностей добування коренів виду , .

Алгебраїчні висновки у Евкліда наводяться виключно в геометричному вигляді. Вираз виду  вводиться як сторона квадрата з площиною А, добуток а*b - це площа прямокутника зі сторонами а та b. Такий спосіб уявлення був викликаний теорією відношення Евдокса.

Яку ціль ставив собі Евклід, коли писав свою книгу «Начала»? Я можу з впевненістю сказати, що він хотів викласти в одному великому відкритті три великих відкриття недавнього минулого: теорію відношення Евдокса, теорію ірраціональних Теєтета і теорію п’яти правильних тіл, які зайняли видатне місце в космотології Платона. То були три типово «грецькі» досягнення.

Першу спробу систематизації питань, що стосуються розв’язування рівнянь, ми знаходимо у Діофанта (III ст.. до н.е.). У своєму творі «Арифметика» він викладає теорію рівнянь першого степеня, розв’язує квадратні рівняння, але переважна його частина присвячена так званим невизначеним рівняння та їх системам, тобто таким, у яких кількість рівнянь більша за кількість невідомих.

До невизначеного рівняння зводиться, наприклад, задача про те, як розміняти 1 крб. монетами по 20 і 15к.

Якщо кількість шуканих монет позначити відповідно через x, y, то дістанемо невизначене рівняння 20x + 15y = 100, причому серед нескінченної множини його розв’язків дану задачу задовольняє лише один: x = 2, y =4. Саме такі додатні цілі розв’язки рівнянь знаходив Діофант, виявляючи при цьому велику майстерність і винахідливість. Поряд з рівнянням першого степеня він розглядав невизначені рівняння вищих степенів та їх системи.

В «Арифметиці» для спрощення записів та обчислень зустрічаються спроби введення символічних позначень невідомих, їх квадратів та кубів. Книга Діофанта мала великий вплив на розвиток математики і навіть в основі деяких сучасних досліджень лежать висловлені в ній ідеї.

В історії давньогрецької математики творчість Діофанта була однією із завершальних яскравих сторінок. Розвиток математичної культури, а зокрема алгебраїчних рівнянь, переходить до індусів та арабів.

Вважається, що алгебра була створена працями індуських математиків. Саме вони вперше почали вважати позиційну система числення і користуватися нулем як числом, а також символами для позначення дій над числами. Індуські математики ввели певний знак рівності, символ для позначення другого та третього степенів числа квадратного кореня та невідомої величини. Завдяки цьому вони розв’язували рівняння першого та другого степенів, окремі рівняння вищих степенів, невизначені рівняння.

Математика індусів дуже відрізнялась від математика греків - вона була числовою. Індуси не біли стурбовані суворістю еллінів в доведеннях та обґрунтування геометрії. Вони задовольнялися кресленням, на яких у греків заснувалось доведення під зазначення «Дивись!».

Основні досягнення індусів полягають у тому, що вони ввели в застосування цифри, які називаються арабські, і позиційну систему запису чисел, виявили двохзначність коренів квадратного рівняння, двохзначність квадратного кореня і ввели відмінні від нуля числа.

Індуси розглядали числа, які не відносяться до геометрії. В цьому їх алгебра має схожість із алгеброю Діофанта. Вони розповсюдили правила дій над раціональними числами на числа ірраціональні, виробляючи над ними безпосередні викладки, а не вдаючись до побудов, як це робили греки.

Наприклад, їм було відомо, що:

 =  +  +  + .

Індусами був зроблений крок вперед у вдосконаленні алгебраїчної символіки: вони ввели значення декількох невідомих та їх степенів. Крім того, вони шукали розв’язок невизначених рівнянь не в раціональних, а в цілих числах.

.2 Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь

Значний внесок у розвиток теорії розв’язування алгебраїчних рівнянь зробили математики середньовічного Сходу, які писали арабською мовою. Насамперед тут слід назвати узбецького вченого Мухаммеда-ібн-Мусу ал-Хорезмі та таджицького математика й поета Омара Хайяма. Зокрема, саме слово «алгебра» виникло в зв’язку із заголовком книги ал-Хорезмі «АЛ-джебр ал-мукабала». В цій книзі ал-Хорезмі обмежується лінійними та квадратними рівняннями.

Від Арабів Європа отримала наступний спосіб розв’язання рівняння + ax = b2.

Побудуємо квадрат x2 , до його сторін проложимо чотирикутник довжиною x + 2* = х +  та шириною  (мал. 3)

Тоді площа отриманого квадрата:

(x + ) 2= x2 + ax+ .

Отже,

x2 + ax+ . = (x + ) 2 = b + ,

(x + ) 2 = 2.

Величини а та b відомі, тому можна побудувати

Проте в трактаті Омара Хайяма «Про доведення задач із алгебри і ал-джебри» знаходимо більш строгу класифікацію всіх рівнянь до третього степеня включно. Більш того, згаданий трактат - перший в історії науки твір, де алгебра розглядається як самостійна математична дисципліна, що має загальнотеоретичне значення.

Поет і вчений Омар Хайям (1048-1131) написав трактат про алгебраїчні рівнянням, де привів їх класифікацію, що складається з 25 видів, 14 з яких були кубічні . Його класифікація не була відома європейським математикам Нового часу. Вперше трактат був виявлений і опублікований на арабській мові лише в 1936 р. Проте цей трактат говорить нам зараз про рівень розвитку арабської математики XI -XII ст. У ньому автор наводить методи рішення рівнянь і дає визначення того , що потрібно розуміти під алгебраїчними обчисленнями. Хайям пише: « Алгебраїчні обчислення проводяться за допомогою рівнянь; як добре відомо, рівняння - це зрівняння одних ступенів іншими ».

Більшість кубічних рівнянь Хайям вирішує за допомогою перетину прямих і кіл з лініями конічних перетинів. Так , корені рівняння

x ³ + a = bx ,

він шукає на перетинах параболи

x ² = yb1 / 2,

і гіперболи

x ² - ax / b = y ²;

корені рівняння

x ³ + bx = cx ² + a,

він визначать за допомогою окружності

 y ² = ( x - a / b ) ( c - x ),

і гіперболи

Зрозуміло, всі алгебраїчні рівняння мали у нього конкретний числовий вигляд.

Наприклад , для рівняння x ³ + 41 ² = 80x ² їм було знайдено два кореня : x = 41 , x = 41 + 39 ( 3 / 4 ) і т.д.

Таким чином , нинішню багато в чому символьну алгебру араби сформували як методику відомості конкретних прикладних задач до одного або декількох рівнянь різного ступеня і знаходженню одного або двох коренів за допомогою конкретних геометричних побудов. Декарт, створюючи свою аналітичну геометрію, в чому спирався на алгебраїчні роботи арабів, які виростали з синтетичної геометрії греків.

В алгебраїчному трактаті Хайяма розвиток арабської математики, звичайно, не закінчився. Після нього якийсь анонімний автор навів геометричну побудову для знаходження одного з коренів рівняння четвертого ступеня виду: x4 + 2000x = 20x ³ + 1900.

У трактаті самаркандського математика аль- Каші (XIV -XV ст.) «Ключ арифметики» дається класифікація , що складається з 65 видів рівнянь , і методи вирішення , в тому числі , рівнянь четвертого ступеня.

Крім алгебраїчних рівнянь , перекладу і коментування грецьких авторів , араби цікавилися обчисленнями коренів. Ними були отримані цікаві співвідношення , наприклад , такі:

 =

і т.д. До цих числовим рівностей приводили все ті ж геометричні та алгебраїчні прийоми , які давали і більш загальні вирази, зокрема, таке:

Вельми схожу формулу виводе і Ньютон у своїй «Загальній арифметиці»:

яка потім увійшла в усі європейські підручники алгебри. Таким чином , основним досягненням математиків країн ісламу було створення алгебраїчної науки , конструктивний дух якої мусульмани передали першим ученим відродженої Європи.

.3 Історія розв’язання рівнянь в третій та четвертій степені видатних математиків (Дель Ферро, Дж. Кардано, Феррарі)

Лише в XVI ст.. були знайдені методи розв’язування рівнянь третього та четвертого степенів; тут слід назвати імена італійців С. Ферро (1465 - 1526), Н. Тарталья (1500 - 1557), Дж. Кардано (1501 - 1576), Л. Феррарі (1522 - 1565).

Джироламо Кардано Girolamo , 1501-1576 ) народився в сім'ї юрисконсульта . Його батько цікавився і науковими питаннями, і викладав геометрію; відомо , що по одному з наукових питань його консультував сам Леонардо да Вінчі. У дитинстві Джироламо ледь не загинув від чум. У 8 років батько став брати його з собою, коли відвідував клієнтів. Він розповідав синові про магів , демонів , чудесах , одночасно навчаючи арифметики, геометрії , початків арабської астрології , мовам , риториці.

У 18 років Джироламо вступив на медичний факультет університету Павії , потім продовжив свою освіту в університеті Падуї , який закінчив в 1524 р.

Спочатку колегія лікарів Мілана відмовила Кардано в прийомі, мотивуючи своє рішення , що він незаконнонароджений син (його батько і мати довгий час жили , не оформивши шлюбу ) . Кардано сильно бідував . У ці роки він написав багато робіт з медицини , філософії , математики , але вони не приносили йому доходу і слави. Лише в 1539 р. по протекції знатного вельможі , у якого Кардано вилікував сина , він був прийнятий в колегію міланських лікарів.