Материал: Розрахунок прямокутної пластини при згині

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

E z

+ν

;

+ν

(1 −ν

−ν

ρx

ρy

)

ρy

)

ρx

Підставимо в ці співвідношення залежність кривизни від функції прогинів пластинки

1	≈ −	d 2 w	;	1	≈ −	d 2 w	.
ρx		d x2		ρy		d y2

Після підстановки отримаємо

E z

σx

= −

+ν d

;

−ν

2 ) d x2

d y2

E z

σy

= −

+ν d

(9)

−ν

2 ) d y2

d x2

Ці вирази з врахуванням (4) дають змогу записати співвідношення для згинальних моментів

M x

;

M y

(10)

= −D

∂

+ν

∂

= −D

∂

+ν

∂

∂x

∂y

∂x

В загальному випадку згину пластин (при поперечному згині) відбувається також кручення елемента поперечного перерізу пластини. При цьому вертикальними дотичними напруженнями можемо нехтувати, а враховувати слід лише горизонтальні дотичні напруження. Розглядаючи викривлення серединної поверхні пластинки викликаної крученням можна аналогічним чином вивести формулу залежності крутного момента від функції прогинів:

M xy = H = −D(1−ν)	∂2w	.	(11)
	∂x∂y

Розглянемо нескінченно малий елемент пластини розміром d x ×d y . На

гранях цього елемента виникають три погонних (віднесених до одиниці ширини перерізу) внутрішніх зусилля: згинальні і крутний моменти та поперечні сили. Нехай цей елемент пластини перебуває під дією розподіленого навантаження q(x, y). Тоді умови рівноваги елемента (після відкидання величин

вищих порядків малості) будуть мати вигляд:

∑Fz = 0 :	d Q		+		d Qy		= −q ;
		x
	d x				d y

∑M x = 0 :		d M	x	+		d M xy		=Qy ;	(12)
		d y				d x

∑M y = 0 :	d M y	+	d M xy	=Qx .

	d x d y

Враховуючи вирази для згинальних та крутного моментів (10) - (11) отримаємо з другого і третього рівнянь (12):

Qx = −D

∂

∂2w

Qy = −D

∂

∂2w

∂x2

;

∂x2

∂x2 .

(13)

∂x

∂y

Підставляючи ці формули в перше рівняння (12), отримуємо диференціальне рівняння серединної поверхні пластини (рівняння Софі Жермен):

∂4w	+ 2	∂4w	+	∂4w	=	q(x, y)	,	(14)
∂x4		∂x2∂y2		∂y4		D

де q(x, y) - інтенсивність поперечного поверхневого навантаження.

maxτxy

	H	M x				x
	H	x				x
		x	τyx

					σx
			τ	xy	σx	maxσx
	Qx		τ			maxσx
					τ
					τ
M y					zx
M y	Qy	y σy	τzy
	Qy	y σy	τzy

Рис. 4. Рис. 5.

Таким чином, задача згину пластинки зводиться до інтегрування рівняння (14). Якщо функція прогинів знайдена, то зусилля і напруження, які виникають в пластинці, знаходяться за формулами:

а) в перерізі з нормаллю, яка паралельна осі x :

w2 +

M x = −D

∂

ν ∂

; M xy = H = −D(1−ν)

∂

;

∂x

∂y

∂x∂y

б) в перерізі з нормаллю, яка паралельна осі y :

∂

M y = −D

+ν

; M xy = H = −D(1−ν)

∂

;

∂x∂y

∂y

∂x

= −D	∂	(∆w) .	(15)
	∂x

Qy = −D ∂∂y (∆w) . (16)

На рис. 3 показані додатні напрямки внутрішніх зусиль. Кожний з шести силових факторів взаємозв’язаний з відповідним напруженням, додатній напрямок якого показано на рис. 4.

Напруження σx , σy , τxy виражаються через відповідні внутрішні зусилля таким чином (рис. 5):

σx =	12M	x	z ;	σy =	12M y	z ;	τxy =	12H	z .	(17)
	h3				h3			h3

Із виразів (17) видно, що нормальні напруження σx , σy										і горизонтальне
дотичне напруження τxy				(τyx ) змінюються по висоті перерізу за лінійним за-

коном. Вони набувають найбільших значень в точках, які прилягають до поверхні пластинки (z = ±h 2) , а на серединній поверхні дорівнюють нулеві,

тобто:

6M y

maxσ

;

maxσ

; maxτ

(18)

Епюри напружень σx

іτyx

показані на рис. 5. Ці напруження є визнача-

льними при оцінці міцності пластинки. Вертикальні дотичні напруження τzx і τzy , що зв’язані з погонними поперечними силами Qx і Qy , при розрахунках

пластинки на міцність, як правило, не враховуються.

При розв’язуванні рівняння Софі Жермен виникають сталі інтегрування, які залежать від способу закріплення контуру пластинки і діючих на ньому навантажень. Ці сталі визначаються з умов на контурі пластинки (на кожному краї пластинки формулюються дві граничні умови).

Умови на контурі пластинки (граничні умови). Розрізняють три осно-

вні типи закріплення країв пластинки: жорстко закріплений, шарнірно опертий та вільний (не закріплений).

1.Якщо край пластинки є жорстко закріплений, то на цьому краї прогин і кут повороту в напрямку, що є перпендикулярний до краю, дорівнює нулю.

2.Якщо край пластинки шарнірно опертий і не навантажений момен-

тами, то на цьому краю прогин і згинальний момент дорівнюють нулеві. Якщо край навантажений торцевим розподіленим моментом, то згинальний момент дорівнює торцевому моменту.

3.Якщо край пластинки вільний (не закріплений і вільний від навантаження), то на цьому краю згинальний момент і поперечна сила дорівнюють нулеві.

4.Якщо край пластинки вільний від закріплення, але навантажений розподіленим торцевим моментом і вертикальним навантаженням, то на цьому краї згинальний момент дорівнює торцевому моменту, а зведена поперечна сила – вертикальному значенню сили.

		a		Згинальний	момент
B			C	вважається додатнім, якщо
				він згинає пластинку опук-
			x
				лістю вниз. Знак поперечної
			b	сили співпадає зі знаком від-
				повідного їй дотичного на-
	M0
A				пруження. Тому, якщо на то-

		D		рцевій грані пластинки, зов-
y
	q0 Рис. 6 .			нішня нормаль якої співпадає
z				з додатнім напрямком пара-

лельної їй координатної осі, вертикальне навантаження напрямлено вниз, то воно викликає додатну поперечну силу (в граничну умову підставляється зі знаком „+”).

Приклади запису граничних умов. Для пластини (рис. 6), сторона АВ якої жорстко закріплена, сторона ВС - шарнірно оперта, сторона CD - вільна і сторона DA вільна від закріплення, але навантажена розподіленими торцевими моментами M0 і силами q0 , потрібно записати в загальному вигляді грани-

чні умови.

∂w

Край АВ (жорстко закріплений) :

x = 0;

0 ≤ y ≤b;

w = 0;

= 0 .

∂x

Край ВС (шарнірно опертий):

y =0;

0 ≤ x ≤ a;

w = 0;

M y

= 0 .

Край СD (вільний): x = a;

0 ≤ y ≤b;

w = 0; M x = 0 або

∂2w

+ν

∂2w

= 0

;

∂x2

∂y2

зв

= 0 або

∂3w

+(2

−ν)

∂2w

=0 .

∂w3

∂x∂y2

Край АD (вільний від закріплення, але навантажений рівномірно розподіленим торцевим моментом M0 і вертикальним навантаженням q0 ):

y =b; 0 ≤ x ≤ a; M

= M

;

Qзв = −q ,

або −D

∂2w

+ν

∂2w

= M

0 ; −D

∂3w

+(2 −ν)

∂3w

= −q0 .

∂y2

∂x2

∂y3

∂x2∂y

В останній умові вертикальне розподілене навантаження q0 підставлене

JJG

зі знаком „-” , так як на краю АD зовнішня нормаль nAD співпадає з додатнім напрямком осі y , а навантаження напрямлене вверх.

Приклад розв’язування задачі.

0	A	Дано прямокутну пластинку,
		x віднесену до декартової системи ко-

ординат x0 y (рис. 7), яка знаходиться

C	B
y	a

Рис. 7.

bпід дією поперечного рівномірно розподіленого навантаження інтенсивності q0 . Функцію прогинів пластинки

w(x, y) задано з точністю до постійного множника K :

w(x, y) = Kx(x −a)( y −b)2 .

Потрібно визначити цей постійний множник і характер закріплення пластин-

ки, побудувати епюри внутрішніх зусиль в перерізі			x = a	2	і	y = b	2	і знайти
	σx ,σy ,τxy . При			2			2
найбільше значення напружень	σx ,σy ,τxy . При		розрахунках				прийняти:
a = 2 м; b =1м; h =0.1м; ν = 0.25 ; q		= 40 кН/м2.
0

Розв'язування:

1.Використовуючи диференціальне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки, визначимо постійний коефіцієнт K . Для цього знайдемо ча-

стинні похідні функції прогину:

∂w

= K (2x −a)( y −b)2 ,

∂w

= 2Kx(x −a)( y −b) ;

(а)

∂x

∂y

w2 = 2Kx(x −a) ,

∂

= 2K ( y −b)2 ,

∂

∂ w

∂

= 4K ( y −b) ; (б)

∂x

∂y

∂x ∂y

∂y

∂x

∂4w

= 0 ,

∂4w

= 0 ,

∂4w

∂

∂3w

= 4K .

(в)

∂x

∂y

∂x

∂y

Підставимо знайдені значення похідних в рівняння Софі Жермен, тоді одержимо K = 8qD0 .

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)