Материал: Розрахунок прямокутної пластини при згині

Таблиця 2

Навантаження та прогини пластинки

№

Функція навантаження

Рівняння зігнутої

Схема

варіанту

пластинки

серединної поверхні

1

q (x, y)= q sin

π x

sin

2π y

w(x, y)= C sin

π x

sin

2π y

1

0

a

b

a

b

2

q(x, y)

= q

sin π x sin π y

w(x, y)= C sin π x sin π y

1

0

a

b

a

b

3

q (x, y)= q sin

2π x

sin

2π y

w(x, y)= C sin

2π x

sin

2π y

1

0

a

b

a

b

4

q (x, y)= q sin

2π x

sin

π y

w(x, y)= C sin

2π x

sin

π y

1

0

a

b

a

b

5

q (x, y)= q0

w(x, y)= C x y (x −a)(y −b)

1

6

q(x, y)= q0 π

22

x(x −a)−4 sin

π y

w(x, y)= C x (x −a)sin

π y

1

b

b

b

7

q(x, y)= q0 π

22

y(y −b)−4 sin

π x

w(x, y)= C y (y −b)sin

π x

1

a

a

a

8

q (x, y)= q0

w(x, y)= C (x −a)2 (y −b)2

2

4π

2

2

2πy

2

π

9

q(x, y)=q0

(x −a)

−4 sin

w(x, y)= C (x −a)

2

b

2

b

sin 2 y

b

10

4π2

(y −b)

2

2πx

w(x, y)= C (y −b)

2

sin

2πx

2

q(x, y)=q0

a

2

−4 sin

a

a

11

q (x, y)= q0

w(x, y)=C (x2 −a2 )(y2 −b2 )

2

12

q(x, y)= q0 π

22

(x2 −a2 )−4 sin

πy

w(x, y)= C (x2 −a2 )sin

π y

2

b

b

b

13

q(x, y)= q0 π

22

(y2 −b2 )−4 sin

πx

w(x, y)= C (y2 −b2 )sin

πx

2

a

a

a

14

q(x, y)=q0

π2

(x2 −a2 )−4 cos

πy

w(x, y)= C (x2 −a2 )cos

π y

2

2

2b

2b

4b

π2

2

2

πx

2

2

πx

15

q(x, y)=q0

(y

−b

)−4 cos

w(x, y)= C (y

−b

)cos

2

2

2a

2a

4a

16

q (x, y)= q0

w(x, y)= C (x −a)2 (y −b)2

3

π2

2

πy

2

π y

17

q(x, y)= q0

(x −a)

−4 cos

w(x, y)= C (x −a)

cos

3

4b

2

2b

2b

18

q(x, y)=q0 4π22

x(x −a)

−4 sin 2πy

w(x, y)= Cx(x −a)sin 2π y

3

b

b

b

19

π2

x(x −a)

πy

πy

3

q(x, y)= q0

2

−4 cos

b

w(x, y)=Cx(x −a) 1+cos

b

b

Пластинки називаються тонкими пластинками, якщо відношення тов-

щини

h

до найменшого характерного розміру b знаходиться в межах

1

≤ h

≤

1

, а величина найбільшого прогину не перевищує 1 h . Якщо згадане

80

5

b

4

ся прямокутна декартова система координат. Осі x

і y розташовані в сере-

динній площині (рис. 2) пластинки, а вісь z

направляється вниз перпендику-

лярно до серединної площини.

Через u,v, w позначимо переміщення точок пластинки в напрямку осей

координат x, y, z

відповідно. Основним переміщенням при згині пластинки є

прогин w (переміщення в напрямку осі z ).

Циліндричним згином пласти-

нки називають такий вид деформу-

вання, при якому серединна повер-

хня набуває циліндричної форми.

Наприклад, коли умови закріплен-

ня і величина навантаження не змі-

нюються по координаті y .

ρ

В поперечному перерізі плас-

тинки

виникають

два

внутрішні

згинальні

моменти

та

поперечні

M x

сили.

Зазначимо,

що індекси біля

згинальних

моментів

вказують не

x

на вісь, відносно якої він повертає,

z

σx

а на нормаль до перерізу, в якому

він виникає ( M x - погонний момент

в перерізі з нормаллю x ). Ці зусил-

σy

ля виражаються через напруження

таким чином (рис. 3):

y M y

Рис. 3.

h 2

M x = ∫ σx z d z ;

−h 2

h 2

M y = ∫ σy z d z .

(1)

−h 2

Геометричні співвідношення при згині пластини:

εx = (z + ρ)d x − ρd x =

z

;

εy = 0 .

(2)

ρ

ρd x

Фізична сторона задачі (Закон Гука):

εx =

1

(σx −νσy ); εy

=

1

(σy

−νσx ).

(3)

E

E

σy =νσx ;

z

1

(σx −ν2 σx );

z E

E z

−d

2

w2

=

σx =

=

.

2

2

ρ

E

ρ 1 −ν

1 −ν

d x

σx =

M

x z ,

σy =

M y

z ,

(4)

I1

I2

де I

= I

2

=

h3

- моменти інерції поперечного перерізу пластини шириною

1

12

M

x

= −D

∂2w

;

M

x

= −ν D

∂2w

,

(5)

∂x2

∂x2

де

D =

E h3

- циліндрична жорсткість пластинки,

E , ν - модуль пружно-

(

2

)

12 1−ν

чках, які прилягають до поверхні пластинки (z = ±h

2

) , а на серединній пове-

рхні дорівнюють нулеві, тобто:

6M y

maxσ

x

=

6M

x

;

maxσ

y

=

.

(6)

h2

h2

рмації εx та εy відмінні від нуля і рівні:

ε

x

=

z

;

ε

y

=

z

.

(7)

ρ

x

ρ

y

Виразивши з формул (3) напруження

σx =

E

(εx +ν εy );

σy

=

E

(εy +ν εx ),

(8)

(

−ν

2

)

(

−ν

2

)

1

1