Материал: Розгляд принципу максимуму Понтрягiна для систем диференціальних рiвнянь з запiзненням по аргументу та з нефiксованим часом i фiксованими крайовими умовами

Тому в даній задачі необхідно знайти такі значення pi(N), при яких від заданого кінцевого стану системи треба перейти до заданого початкового стану системи по рівняннях (10) - (13).

Для цього необхідно провести перетворення над зазначеними рівняннями на всіх циклах процесу управління від n = N - 1 до n = 0 і виразити значення pi(N) через відомі значення елементів векторів  і .

Зробимо ці перетворення при конкретних чисельних значеннях N, .

Нехай .

Тоді при n = 3 з урахуванням граничних умов на кінці x1(4) = 4 і x2(4) = 0 з рівнянь (10) - (13).

Отримаємо:

(3) = - 0,5p2(4)(3) = 4 - 0,5p1(4) + 0,5p2(4)(3) = p1(4) + 2p2(4)(3) = 2p1(4) - 8 - p2(4)

При n = 2 з рівнянь (10) ¸ (13) отримаємо:

(2) = x2(3) - 0,5p2(3)(2) = x1(3) - x2(3) - 0,5p1(3) + 0,5p2(3)(2) = p1(3) + 2p2(3) - 2x2(3)(2) = 2p1(3) - 2x1(3) + 2x2(3) - p2(3)

Підставимо в ці рівняння значення x1(3), x2(3), p1(3) та p2(3), отримані при n =3 і, зробивши необхідні арифметичні обчислення.

Отримаємо:

(2) = 8 - 1,5p1(4) + p2(4)(2) = p1(4) - 2,5p2(4) - 8(2) = 6p1(4) - p2(4) - 24(2) = - p1(4) + 7p2(4) + 16

При n = 1 з рівнянь (10) ¸ (13) отримаємо:

(1) = x2(2) - 0,5p2(2)(1) = x1(2) - x2(2) - 0,5p1(2) + 0,5p2(2)(1) = p1(2) + 2p2(2) - 2x2(2)(1) = 2p1(2) - 2x1(2) + 2x2(2) - p2(2)

Підставимо в ці рівняння значення x1(2), x2(2), p1(2) та p2(2), отримані при n =2 і, зробивши необхідні арифметичні обчислення, отримаємо:

(1) = - 1,5p1(4) - 6p2(4) - 16(1) = - 6p1(4) + 7,5p2(4) + 36(1) = 2p1(4) + 18p2(4) + 24(1) = 18p1(4) - 16p2(4) - 96

При n = 0 обчислювати значення p1 і p2 немає змісту, тому визначимо тільки вираз для x1(0) та x2(0) по (10) і (11) при n = 0 з урахуванням результатів отриманих раніше:

(0) = - 15p1(4) + 15,5p2(4) + 84(0) = 15,5p1(4) - 30,5p2(4) - 112

Так як початкові граничні умови задані: x1(0) = -1, x2(0) = 1, то після підстановки в ці вирази значень x1(0) і x2(0) отримаємо систему із двох рівнянь:

p1(4) - 15,5p2(4) = 85

,5p1(4) - 30,5p2(4) = 113

Розв’язавши цю систему, отримаємо невідомі значення приєднаних функцій на кінці процесу p1(4) та p2(4).

Розв'язок цієї системи дає наступні результати:

p1(4) = 3,872(4) = - 1,737

Підставивши ці значення в рівняння (10) ¸ (13) при відомих x1(4) = 4 та x2(4) = 0, визначимо значення x1(3), x2(3), p1(3) та p2(3). Знову підставимо ці значення в (10) ¸ (13) і визначимо значення x1(2), x2(2), p1(2) та p2(2). Проробивши цю процедуру до n = 0, визначимо всі значення x1(n), x2(n), p1(n) і p2(n) на всьому інтервалі управлення. Відмітимо, що значення x1(0) та x2(0) повинні співпадати із заданими значеннями вектора  с допустимою похибкою. Елементи вектора оптимального управлення визначаються із співвідношення (6) та (7).

В таблиці 1 приведені результати обчислень по описаній процедурі. Тут же приведені значення підінтегральної функції f0 та значення цільової функції J, яка обчислюється за формулою (3).

Таблиця П.8.1

За табл. 1 можна побудувати траєкторії процесів  .

Постановка задачі оптимального управлення заводом, який випуск бетон, при відомому початковому стані та попиті на бетон на кожному циклі.

Необхідно на заданому інтервалі управлення заводомn = 0 ¸ N так спланувати випуск бетону при відомому на нього попиті, щоб сумарні витрати виробника і споживачів бетону (будівельних організацій) від неспівпадіння попиту і пропозиції були мінімальні.

Функція попиту бетону (в тис. тонн) r(n) задана таблицею 2.

Таблиця 2

де n - номер циклу, наприклад, номер дня тижня, r(n) - необхідний розчин бетону, (тис. тонн) по днях тижня.

Процес виробництва бетону описується різницевим рівнянням виду:

(n + 1) = x(n) + u(n), (14)

де u(n) - управління зміною об’єму виробленого продукту. У цьому завданні число m = 1.

Початкова умова x(0) = 1. Кінцева умова x(N) не задано, N = 5.

Математично критерій оптимального керування заводом запишемо у вигляді цільової функції, що є інтегральною функцією втрат виробника і споживачів продукції:

, (15)

де функція

(16)

відображає сумарні втрати виробника та споживачів продукції від розбіжності попиту і пропозиції, коли різниця x(n) - r(n) = 0, причому при x(n) < r(n) ці втрати більше, ніж при x(n) > r(n), тому простої будівельників обходяться дорожче.

Функція

(n) = bu2(n) (17)

описує втрати виробника, пов'язані зі зміною обсягу виробництва.

Рішення задачі оптимального керування бетонним заводом здійснюється наступним чином. Нехай a = 2, b = 3.

Функція Гамільтона на з урахуванням (17) і (15) має вигляд:

= p(x + u) - y2 - y1,

а з урахуванням (16) и (17) отримаємо:

Вираз для приєднаної функції визначимо за формулою

 (18)

Вираз для оптимального управлення заводом

р(n + 1) - 6uоп(n) = 0, звідки

. (19)

Підставимо цей вираз в (14) і отримаємо:

,

Звідки

. (20)

Щоб зробити розрахунки по цьому рівнянню, треба знати x(N) і p(N).

Для визначення p (N) скористаємося умовою трансверсальності

.

Із (15) на основі (17) слідує, що в даному випадку термінальний член:

Тоді

 (21)

Так як значення x(N) невідомо, то визначити значення p(N) аналітично не представляється можливим.

У ситуаціях, подібних даної, коли число граничних умов менше числа різницевих рівнянь, а умовою трансверсальності використовувати не можна, вирішити задачу можна методом перебору. Суть методу в наступному. Спочатку задамо навмання значення x(N). По здоровому глузду воно не повинно сильно відрізнятися від r(N) = r(5) = 8. Потім за виразом (21) визначимо величину p(N) = p(5). Далі за виразом (20) визначимо величину x(4), а за виразом (18) визначимо p (4).

Далі повторимо цей процес обчислень за формулами (20) і (18) при n = 3 і визначимо x(3) і p(3).

Далі повторимо процес обчислень за формулами (20) і (18) при n = 2, n = 1 і n = 0. В результаті визначимо значення x(0).

Тепер порівняємо його з заданим початковим умовою x(0). Якщо різниця між розрахованим і заданим значенням x(0) по модулю менше числа e ® 0, то ми вгадали величину x(N). В іншому випадку знову повернемося до початку обчислень, задамося іншим значенням x(N) і повторимо процес обчислень знову. І так до тих пір, поки не вийде задана величина x (0) з похибкою e . Після цього по (20) і (18) розрахувавши весь процес від n = 5 до n = 0.

Результати розвязку задачі оптимального управлення бетонним заводом приведені в таблиці 3.

Таблиця 3

На рис. 1 приведені залежності x(n) та r(n), які побудовані по табл. 2 і табл. 3.

Рис. 1. Залежності x (n) і r (n)

З цього рисунку видно, що функція оптимального пропозиції товару x(n) являє собою згладжений процес від функції попиту r(n).

Висновки

Задачі оптимального керування відносяться до найскладніших екстремальних задач. Найбільш ефективним методом дослідження цих завдань є принцип максимуму Понтрягіна, що представляє собою необхідні умови оптимальності. Це одне з великих досягнень сучасної математики, яке узагальнює і розвиває основні результати класичного варіаційного числення. Принцип максимуму був сформульований академіком Л.С. Понтрягіним в 1953 р. і в подальшому був доведений і розвинений ним разом з колективом учнів і співробітників.

В даній роботі було досліджено принцип максимуму Понтрягiна для систем диференціальних рiвнянъ з запізненням по аргументу та з нефіксованим часом i фіксованими крайовими умовами.

Описана модель національної економіки, яка була запропонована в 1956 році Нобелівським лауреатом в області економіки Р. Солоу.

Для виробничих функції Кобба-Дугласа розраховано значення фондоозброєності, продуктивності праці і питомого споживання на стаціонарній траєкторії збалансованого сталого економічного зростання, на якій норма накопичення дорівнює ρ = 0,2, коефіцієнт вибуття основних виробничих фондів за рік становить μ = 0,2, а річний темп приросту чисельності зайнятих дорівнює v = 0,05. З отриманих значень видно, що оптимальний вибір норми накопичення призводить до суттєвого збільшення питомого споживання на стаціонарній траєкторії - більш ніж у півтора рази.

Список використаної літератури

1.      Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. / 2-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

.        Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2003.

.        Матвеев А.С. Задачи оптимального управления с запаздыванием общего вида и фазовыми ограничениями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52: 6. С. 1200-1229.

.        Мышкис А.Д. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. / Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Р., 1949.

.        Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

.        Харатишвили Г.Л. Оптимальные процессы с запаздыванием. Т., 1966.

.        Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1971.

.        Bakke V.L. Optimal fields of problems with delays // J. Optimiz. Theory Appl. 1981.

.        Chyung D.H., Lee E.B. Linear optimal systems with time delays //SIAM J. Control. 1966.

.        Guinn T. Reduction of delayed optimal control problems to nondelayed problems // J. Optimiz. Theory Appl. 1976.

.        Halanay A. Optimal controls for systems with time lag // SIAM J. Control. 1968.

.        Hestenes M.R. On variational theory and optimal control theory // SIAM J. Control. 1965.