Материал: Розгляд принципу максимуму Понтрягiна для систем диференціальних рiвнянь з запiзненням по аргументу та з нефiксованим часом i фiксованими крайовими умовами

.

Зокрема функція

будучи суперпозицією неперервно-диференційовних функцій, сама є неперервно-диференційованою по α і, крім того, виконується співвідношення:

Далі, функція v1 неперервна у точці , причому , а функція  неперервна в точці τ. Тому для будь-якого ε > 0 існує таке δ > 0, що при

виконуються нерівності

 (18)

Візьмемо додатне  настільки малим, щоб при  виконувалася нерівність |. Тоді для будь-якого ,  і  буде мати місце нерівність

Враховуючи, що , для , отримуємо

Оскільки , при , то для будь-якого ε > 0 знайдеться таке , , маємо

 (19)

Отже, для  ми отримали

 (20)

Тепер розглянемо відрізок . Без обмеження можна вважати, що , тоді з  слідує, що , звідки за (9)  і , звідки за (20) . Тому, для , рівняння (13) з урахуванням (9) набуде вигляду:

(21)

Позначимо через  рішення цього рівняння з початковою умовою .

По теоремі про диференціальної залежності розв’язків ний звичайних диференціальних рівнянь від початкових даних отримаємо, що існує ε2 > 0 таке, що функція  визначена при   і є неперервно диференційованою за сукупністю аргументів. Тоді, для визначення xα(t) на відрізку , покладемо . Якщо  вибрано так, що при  виконується нерівність , то при тих же значеннях α маємо:

.

Зокрема ця функція, як суперпозиція неперервно-диференційованих функцій, сама є неперервно-диференційованою по  і . Отже, при  і , існує і неперервна по (t, α) похідна . Позначимо , де , тоді для  і  маємо:

Візьмемо додатне  настільки малим, що , тоді

 . (22)

Перейдемо від рівняння (21), з початковою умовою , до еквівалентного інтегрального рівняння:

(23)

Диференціюючи це рівняння по α і вважаючи α = 0, знаходимо, що на інтервалі  функція z(t) задовольняє диференціальному рівнянню

 (24)

і початковій умові

. (25)

Покладемо

тоді функції  неперервно диференційованою по α і, в силу того, що  виконується співвідношення:

Де

 значення розвязку рівняння (24) з початковою умовою (25) у точці , яке продовжене по неперервності.

Переходячи до відрізку  і враховуючи, що  і α мале, отримаємо, що рівняння (13) з урахуванням (9) прийме вигляд:

Позначимо  розв’язок наступної задачі Коші:

 (26)

Знову, відповідно до локальної теоремою існування і єдиності можна підібрати такі ε3 > 0 і δ3 > 0, що  визначена при

а в силу теореми про диференціальної залежності рішень від початкових даних функція v3 є неперервно-диференційованою по сукупності змінних.

Покладемо  і . Якщо  вибрано так, що , то при  маємо

.

Зокрема функція

.

Зокрема функція xα(t), як суперпозиція неперервно диференційованих функцій, сама є неперервно диференційованою по (t,α) при , .

Так як функція  неперервна у точці , причому , а функція  неперервна у точці , то, виходячи з аналогії, переконуємося, що для достатньо малого значення  при , виконується нерівність

Оскільки для  виконується нерівність (19), а для  виконується нерівність (22), то для будь-якого ε > 0 знайдеться таке , (), що для будь-якого , маємо

 (27)

Перейдемо від рівняння (26), з початковою умовою , до еквівалентного інтегрального рівняння:

(28)

Диференціюючи це рівняння по α і вважаючи α = 0, знаходимо

де  визначено вище. Покладемо

, (29)

Ця функція, будучи суперпозицією неперервно-диференціюючих функцій, сама неперервно диференційована по α, і виконані співвідношення:

(30)

Отже, для  ми отримали

 (31)

Отже, ми отримали всі твердження леми для неперервного управління . Залишилося розглянути випадок, коли управління  є кусочно-неперервною функцією. Для цього поступимо наступним чином. Для простоти нехай точок розриву буде дві, скажемо α1 та α2. Також припустимо, що точка τ, у якій повинно бути неперервним, розташована між ними: . На відрізку [t0, α1] диференціальні рівняння (13) і (14), в яких при t = α1 потрібно вважати управління рівним його граничному значенню , збігаються і за теоремою єдиності , при .

Тепер перейдемо до відрізка [α1; α2], знову вважаючи на його границях управління рівним граничним значенням  при t = α1 та  при t = α2. Тут ми вирішуємо диференціальні рівняння (13) і (14) з початковою умовою . Щодо точки  можливі три ситуації:

)

)

) .

Розбираючи окремо ці ситуації, переконуємося, що в кожній з них вірні всі твердження леми. Отже, лема повністю доведена і для загального випадку, коли керування  є кусочно-неперервною функцією.

.3 Моделювання оптимального економічного зростання

Опишемо модель національної економіки, яка була запропонована в 1956 році Р. Солоу, Нобелівським лауреатом 1987 р. в області економіки.

У замкнутій односекторній економічній системі виробляється один універсальний продукт, який може як споживатися, так і інвестуватися. Основні припущення моделі Солоу складаються в сталості темпу приросту числа зайнятих, зносу основних виробничих фондів і норми накопичення, відсутності лага (тобто запізнення) капіталовкладень.

Стан економіки в момент часу t визначається наступними показниками:

·        валовим випуском X (t);

·        капіталом (основними фондами) K(t) ;

·        числом зайнятих у виробничій сфері L (t);

·        валовими інвестиціями I (t);

·        фондом невиробничого споживання C(t) .

Нехай річний темп приросту кількості зайнятих становить n, тоді за проміжок часу dt чисельність зайнятих змінюється на величину dL = nL(t)dt, значить, для L(t) можна записати диференціальне рівняння

Розв’язком якого є функція

Де- кількість зайнятих в початковий момент часу.

Нехай за рік вибуває (зношується і приходить в непридатність) частина μ основних виробничих фондів, норма накопичення становить ρ, а річний валовий внутрішній продукт визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією X = F(K, L).

Тоді знос та інвестиції в розрахунку на рік дорівнюють μK(t) та I(t) = ρX(t) = ρF(K(t), L(t)) відповідно, лаг капіталовкладень відсутній, це означає, приріст фондів за проміжок часу dt складає dK =- μK(t)dt + I(t)dt або

Перепишемо це рівняння у вигляді

де ми врахували, що F(K, L) = LF(K / L,1), оскільки похідна функція F(K, L) є лінійно-однорідною.

Перейдемо тепер до відносним показників:

фондоозброєнності k(t) = K(t)/L(t);

середньої продуктивності праці x(t) = X (t) / L(t);

питомим інвестиціям i(t) = I (t) / L(t);

середньодушове споживання c(t) = C(t) / L(t).

Знайдемо

При цьому

Тому

тобто для фондоозброєності k(t) справедливо диференціальне рівняння

Розглянемо у якості виробничої функції функцію Кобба-Дугласа F(K, L) = AKαL1-α, при цьому F(k, 1) = AKα.

Ввівши позначення , f (k) = F(k, 1) = AKα, одержуємо модель Солоу у відносних показниках: