Материал: Розгляд принципу максимуму Понтрягiна для систем диференціальних рiвнянь з запiзненням по аргументу та з нефiксованим часом i фiксованими крайовими умовами

Кажуть, що економіка знаходиться на стаціонарній траєкторії, якщо відносні показники не змінюються в часі.

Оскільки x(t), i(t), і c(t) є функціями від k(t), то для того, щоб економіка знаходилась на стаціонарній траєкторії, необхідно і достатньо сталості в часі фондоозброєності k(t), тобто

 або

Підставимо сюди f (k) = Akα та винесемо kα за дужки, отримаємо умову стаціонарності траєкторії:

З останнього рівняння видно, що можливі дві стаціонарні траєкторії економіки: вироджена [коли k = 0, при цьому x = Akα = 0, i = ρAkα = 0, та c = (1-ρ)Akα = 0] і не вироджена [коли .]

З умови  випливає, що на невиродженій стаціонарної траєкторії постійні значення відносних показників дорівнюють

Дослідимо, що станеться, якщо економіка відхилиться від стаціонарної траєкторії. Зобразимо на рис. 1 графіки функцій λk та  [тут ].

Розглянемо спочатку вироджену стаціонарну траєкторію (на ній k(t) = 0). Якщо k(t) дорівнюватиме трохи більше нуля, то, як видно з рис. 1, , тому похідна

звідки випливає, що фондоозброєність k(t) буде зростати.

При цьому dk/dt залишається додатною при всіх k(t)(0, kº), тому вироджена стаціонарна траєкторія є нестійкою: досить найменшого обурення, і k (t) починає зростати в сторону k = kº; При k(t) = kº похідна dk/dt стає рівною нулю, тобто k(t)kt перестає змінюватися.

Рис. 1. Дослідження стійкості стаціонарних траєкторій економіки в моделі Солоу

Якщо економіка знаходиться на невиродженій стаціонарній траєкторії k(t) = kº, і відбулося незначне відхилення фондоозброєності вліво від стаціонарного значення kº, то k(t) починає зростати до тих пір, поки знову не повернеться до значення kº. Якщо ж k(t) відхилиться від kº вправо, то, як показує рис. 1, , тому похідна

значить, k(t) буде спадати до тих пір, поки не стане рівною kº. Таким чином, не вироджена стаціонарна траєкторія

є стійкою: при будь-якому відхиленні від цієї траєкторії економіка прагне до неї повернутися.

Дана не вироджена стаціонарна траєкторія носить назву траєкторії збалансованого сталого економічного зростання: чисельність зайнятих на ній зростає експоненціально: L0 (t) = L0evt (звичайно, при позитивному темпі приросту зайнятих v), а всі відносні показники постійні, значить, всі абсолютні показники зростають пропорційно чисельності зайнятих L(t).

Розглянемо тепер найпростішу задачу управління економікою, яка описується моделлю Солоу: спробуємо підібрати таку норму накопичення ρ, щоб питоме споживання на стаціонарній траєкторії збалансованого сталого економічного зростання було максимальним.

Золоте правило накопичення.

Щоб питоме споживання на стаціонарної траєкторії збалансованого економічного зростання було максимальним, норма накопичення ρ повинна дорівнювати еластичності випуску по фондам α.

Доведення.

Розглянемо питоме споживання на стаціонарної траєкторії cº як функцію норми накопичення:

і поставимо задачу визначення такої норми накопичення ρ, щоб

У точці максимуму перша похідна має дорівнювати нулю (або не існувати), а друга похідна повинна бути від’ємною. В даному випадку маємо:

Бачимо, що dcº(ρ)/dρ = 0 при ρ = 0 і при ρ = α. В точці ρ* = 0 друга похідна , тобто точка ρ* = 0 є точкою мінімуму питомого споживання на стаціонарній траєкторії, а в точці ρ* = α друга похідна , тобто точка ρ* = α є точкою максимуму питомого споживання, що й потрібно було довести.

Цей результат отриманий в 1966 р. Е. Фелпсом.

Приклад. Дано значення параметрів A = 103 і α = 0,5 виробничих функції Кобба-Дугласа. У моделі Солоу з цієї виробничої функції потрібно розрахувати значення фондоозброєності, продуктивності праці і питомого споживання на стаціонарній траєкторії збалансованого сталого економічного зростання, на якій норма накопичення дорівнює ρ = 0,2, коефіцієнт вибуття основних виробничих фондів за рік становить μ = 0,2, а річний темп приросту чисельності зайнятих дорівнює v = 0,05. Порівняти отримане значення питомого споживання з оптимальним.

Рішення. На стаціонарній траєкторії, яка відповідає нормі накопичення ρ = 0,2, фондоозброєність

Середня продуктивність праці

Питоме споживання

Згідно золотому правилу накопичення, для того щоб на стаціонарній траєкторії збалансованого сталого економічного зростання питоме споживання було максимальним, потрібно вибрати норму накопичення ρ рівною еластичності випуску по фондам α, тобто в даному прикладі максимум питомого споживання на стаціонарній траєкторії досягається при ρ* = α = 0,5. При цьому

Бачимо, що оптимальний вибір норми накопичення призводить до суттєвого збільшення питомої споживання на стаціонарній траєкторії - більш ніж у півтора рази.

Будемо тепер вважати, що норма накопичення не є константою, а змінюється в часі.

Для цього найзручніше представити інвестиції в основні виробничі фонди у вигляді різниці валового продукту і валового споживання. Рівняння капіталу в такому випадку перетворюється в наступне:

Перепишемо останнє рівняння враховуючи відносні показники

Модель оптимального економічного зростання передбачає максимізацію інтегрального дисконтованого (за неперервною ставкою δ) питомого споживання

при умовах

Горизонт планування T в даній задачі може бути кінцевим або нескінченним.

У разі планування на кінцевий період в максиміваний цільової функціонал доцільно додати доданок, який накладає умову на мінімальну фондоозброєність до кінця періоду [0, T].

Модель являє собою задачу оптимального управління, фазової змінної в якій виступає фондоозброєність k(t), а керуючої змінної - питоме споживання c(t). На управління накладається очевидне обмеження:

,

(тут  - мінімально допустиме питоме споживання).

Введемо одну зв'язану перемінну y(t), яка відповідає єдиній фазовій змінній k(t), і побудуємо гамільтоніан

Рівняння для сполученої змінної має вигляд

Спряжену змінну зручно представити у вигляді  і підставити

Тоді

Або

Загальне рішення даного рівняння має вигляд тому, очевидно, m(t)> 0.

Гамільтоніан

при m(t) ≠ 1 лінійно залежить від управління c(t), тому максимум гамільтоніана по керуючій змінній c(t) може досягатися тільки на кінцях відрізка . Таким чином, оптимальне управління при m(t) ≠ 1 визначається так:

При m(t) = 1 гамільтоніан

і його максимум по фазової змінної k(t) досягається при . Якщо покласти c(t) = f(k(t)) - λk(t), то траєкторія, яка відповідає такому управлінню, буде стаціонарною, так як на ній

Звідси випливає, що на такій траєкторії .

Таким чином, при m(t) = 1 оптимальне управління визначається як c*(t) = f(k*(t)) - λk*(t).

Остаточно отримуємо:

У випадку виробничої функції Кобба-Дугласа

Тому умова  визначає

Правила оптимального управління економіки. Поки фондоозброєність менше k*, слід обмежити питоме споживання на мінімально допустимому рівні c. Як тільки фондоозброєність досягне стаціонарного значення k*, необхідно стрибком збільшити питоме споживання з  до f(k*) - λk*. Якщо ж фондоозброєність більше стаціонарного значення, то на споживання слід відправляти весь випуск: c* = f(k*), і коли за рахунок проїдання фондів економіка вийде на стаціонарну траєкторію k(t) = k*, слід зменшити питоме споживання до f(k*) - λk*.

На стаціонарній траєкторії при цьому забезпечується підтримання фондоозброєнності і питомого споживання на постійному рівні: k(t) = k*, c(t) = f(k*) - λk*.

2. Практична частина

Задача. Витрати x1 першого основного цеху заводу від циклу до циклу описуються різницевим рівнянням першого порядку виду:

, (1)

а витрати x2 другого (допоміжного) цеху описуються різницевим рівнянням виду:

 (2)

Задані початковий і кінцевий стани системи  і  та інтервал управління системою n = 0 ¸ N.

Ставиться завдання: так змінити управління цехами u1 і u2 (змінити витрати), щоб на інтервалі управління n = 0 ¸ N виконувалася умова мінімуму інтегральної цільової функції

 (3)

Ця функція враховує витрати цехів x1 і x2 на кожному циклі, а також зміна витрат, викликаних величинами u1 і u2. Відомо, що вимірювання обсягу виробництва в ту або іншу сторону тягне збільшення витрат, пов'язаних з перебудовою виробництва. Термінальна функція F в цій задачі дорівнює нулю.

Рішення. Спочатку запишемо вираз для функції Гамільтона з урахуванням (1-3)

.

Різницеві рівняння, за якими обчислюються приєднані функції pi, визначаються з приєднаних функції, які визначаються з різницевих рівнянь першого порядку

.

Застосуємо це вираз при i = 1 і i = 2 для функції H і одержимо шукані вирази для приєднаних функцій:

 (4)

 (5)

Оптимальне управління цехами u1 і u2 визначається з принципу максимуму

звідки випливає формула

,

що встановлює зв'язок між елементами u1оп і u2оп оптимального вектора керування та змінними xi і pi

Застосуємо це вираз при i = 1 і i = 2 для функції H і одержимо

Із цих рівнянь отримаємо співвідношення:

 (6)

 (7)

Підставимо їх в (1), (2) і отримаємо:

 (8)

 (9)

Ці рівняння спільно з (4) і (5) описують дискретну динамічну систему при оптимальному керуванні.

Недоліком рівнянь (4), (5), (8) і (9) є те, що перші два рівняння описують процес від кінця до початку (номер циклу n спадає), а другі два рівняння - від початку до кінця.

Перетворимо їх до одного виду, наприклад, від кінця до початку. У данної задачі напрямок не має значення, так як граничні умови змінних стану xi задані і на початку і в кінці процесу управління.

З (9) маємо:

. (10)

Віднімаємо (9) із (8) і отримаємо:

.(11)

Підставимо в (8) значення x1(n) із (10) і отримаємо:

.(12)

Підставимо в (9) значення x2(n) із (11) і отримаємо:

Рівняння (10-13) описують динамічних систему від кінця до початку при оптимальному рівнянні. У даній задачі термінальна функція F не задана, і умовою трансверсальності для визначення граничних значень приєднаних функцій pi(N) скористатися не можна.