Материал: Решение задачи Коши

Обозначим - число атомарных скачков, после слияния дающих -ый существенный вклад в форму , т.е.  при .  непрерывна на отрезке , а значит, и ограниченна на нём; отсюда следует, что число слившихся скачков не может превосходить

на каждом шаге (означает целую часть  с округлением в меньшую сторону), и более того

Домножив обе части неравенства на и устремив к нулю, получим следующее предельное неравенство:

Поскольку , то случай противоречил бы ограниченности на.

Аналогично можно сформулировать теорему для начальной функции , идентичной уже рассмотренной, за исключением знака производной на .

Также справедлива более общая теорема о глобальной разрешимости и виде решения на бесконечном интервале. Для выполнения условий этой обобщённой теоремы не требуется постоянство знака производной, но её доказательство относительно трудоёмко и в данной работе не приводится.

Полученные результаты позволяют провести качественное исследование задачи Коши для уравнения Хопфа и дают представление о форме её решения для произвольной непрерывной кусочно-дифференцируемой функции в качестве начального условия.

Список литературы

коши задача предел функция

J.Glimm,Solution in the Large for Nonlinear Hyperbolic Systems of Equations, Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. XVIII, 1965

V. G. Danilov,Generalized Solutions Describing Singularity Interaction, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 29, 2002

V. G. Danilov, A new definition of weak solutions of semilinear equations with a small parameter, Uspekhi Mat. Nauk 51 (1997), no. 5

V. G. Danilov, G. A. Omel’yanov, E. V. Radkevich, Hugoniot-type conditions and weak solutions to the phase-field system, European J. Appl. Math 10 (1999), no. 1