Материал: Решение задачи Коши

Аналогично случаю а), можно вычислить значение  из условия столкновения фронтов  и :

в). . После второго столкновения уже фронты и  сливаются воедино и затем движутся вместе как единый фронт: . В связи с этим система принимает следующий вид:

Решение системы:

На любом интервале вида , где  - достаточно малые положительные константы, не зависящие от , при , а значит, по свойствам функции переключения,

Значение  из условия столкновения фронтов  и :

При , где - достаточно малая положительная константа, не зависящая от ,  при , а значит все три фронта сливаются в единый фронт  и, аналогично задаче с двумя фронтами,

Замечание 2.Как было отмечено в замечании к предыдущему разделу, корректным было бы в качестве  брать , где  - времена попарных столкновений фронтов до -го (но после -го) взаимодействия,пробегают все пары соседних фронтов,. При этом если, например, первое столкновение случается на паре фронтов, отличающейся от , то в формулах номера 1 и 2 меняются на соответствующие; общий смысл выкладок в любом случае остаётся таким же.

Рассмотрим простую иллюстрацию. Пусть в условиях задачи Коши дополнительно выполнено:. Тогда вид системы упрощается:

Легко видеть, что в этом случае , поэтому выбор  зависит от особенностей начального условия . Неявно предполагалось, что гладкая верхняя огибающая этой функции является всюду выпуклой, поэтому с ростом  растёт и , а значит .

Анализ задач Коши для двух и трёх фронтов позволяет перейти к решению задачи Коши для произвольного числа фронтов .

Решение задачи Коши со ступенчатой функцией в качестве начального условия

Хорошо известно, что любая измеримая ограниченная функция может быть приближена сходящейся почти всюду последовательностью ступенчатых функций. Поэтому рассмотрение задачи этого раздела позволяет исследовать решение задачи Коши с произвольным начальным условием, являющимся измеримой и ограниченной функцией.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Хопфа для произвольного числа фронтов:

где  - положительные константы,. Для упрощения выкладок дополнительно предположим, что

Вид слабой асимптотики:

Воспользовавшись асимптотическими формулами для произведения функций Хевисайда, выпишем приближенное выражение для

После подстановки полученного выражения в уравнение Хопфа и вычисления соответствующих производных, приравняв к нулю соответствующие множители при дельта-функциях, получим систему уравнений для:

Перепишем полученную систему в терминах . Для любой пары  справедливо

поэтому общий вид системы в терминах  следующий:

Дальнейшие действия представляют собой индуктивный процесс, обобщающий метод, использованный в предыдущих задачах, на случай произвольного числа фронтов . Пусть  - моменты первого столкновения фронтов после уже случившихся  столкновений, , и пусть  (см. замечания к предыдущим разделам). Временная ось разбивается с помощью напромежутков, в каждом из которых фактически решается задача для двух фронтов.

(). На этом интервале,в пределедля для , поэтому система вырождается в следующую:

где  - фронт, возникший после слияния первых  фронтов ().

Результат прямого интегрирования системы на каждом из таких интервалов:

По свойствам функции переключения, на любом строго вложенном в  интервале интегральные части равны , откуда и следуют окончательные выражения для  и :

Значения  можно получить из рекуррентного соотношения, получаемого из условия равенства соответствующих и  в этот момент:

На оставшейся полупрямой , при условии сколь угодно малого, но конечного отдаления от границы , все изначальных фронтов сливаются воедино, после чего, аналогично случаю двух фронтов,

Замечание 3.В замечании 2 к предыдущему разделу было показано, что в случае четырёх фронтов времена первых попарных столкновений задаются формулой где Очевидным образом эта формула обобщается и на случай  фронтов. Покажем подробнее, почему выпуклость гладкой верхней огибающейфункции  (назовём её ) позволяет говорить о равенстве .

Далее в рассуждениях будет фигурировать производная по. Поскольку  - не непрерывная, а целочисленная переменная, то на самом деле подразумевается три действия: замена  на непрерывный параметр , взятие производной по  и возврат к старому обозначению .Соотношения при этом остаются такими же, как если бы  было непрерывным параметром.

Обозначим как функцию . Так как в точках  функция  совпадает со своей огибающей, то справедливо равенство

Вычислим производную  по  как производную сложной функции:

Отсюда следует, что поскольку  убывает с ростом  согласно начальному условию, а значит и её огибающая тоже убывает с ростом . Таким образом,  убывает с ростом .

В свою очередь,

а значит

Если же, к примеру,  - всюду вогнутая функция, то , наоборот, убывает с ростом , и процесс решения задачи Коши следует проводить, обратив порядок фронтов. Вариант наличия точек перегиба функции  более сложен и заслуживает отдельного рассмотрения.

Теорема о структуре глобального решения

Справедлива теорема о глобальной разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфав классе кусочно-дифференцируемых функций. Продемонстрируем схему её доказательства и выясним общий вид решения.

Теорема 1.Рассмотрим задачу Коши для уравнения Хопфа:

Пусть  обладает следующими свойствами:

где  - пространство непрерывных функций,  - пространство кусочно-дифференцируемых функций.

Тогда задача Коши имеет решение вида

где , -функция Хевисайда.

Схема доказательства основывается на уже изученном процессе последовательного слияния фронтов-скачков во время эволюции ступенчатой функции-решения задачи Коши для уравнения Хопфа, а также на том факте, что измеримая ограниченная функция может быть приближена последовательностью ступенчатых функций.

Пусть исходная функция  является пределом некоторой последовательности ступенчатых функций, начальные высоты всех ступенек равны , и  получается при стремлении  к нулю. Тогда после перехода к пределу и завершения слияния останется не более чем конечное число скачков, дающих видимый макроскопический вклад в форму . Покажем это.