Материал: Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов
.С5)Найдите все значения параметра a,
при каждом из которых неравенство 
имеет единственное
решение на отрезке [1;3].
. Упростим выражение под знаком модуля:
2. Неравенство 
равносильно
системе:
Запишем наше неравенство в виде равносильной
системы:
Перенесем все влево и приведем к общему
знаменателю:
Начнем с первого неравенства. Смена знаков
происходит в точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю.
Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю:
a=-
x-a=0
a=x
Числитель обращается в ноль в точках параболы a=-
(Нам проще выразить параметр a
через переменную x, поэтому в
нашей параметрической плоскости вертикальной осью мы назначим ось a,
а горизонтальной - ось x)
Знаменатель обращается в ноль в точках прямой a=x.
Так как знаменатель не равен нулю, прямую a=x
изобразим пунктирной линией. Точки пересечения графиков
a=-
и a=x
мы выкалываем:
При пересечении графиков дробь меняет знак.
Определимся со знаками. Возьмем точку с координатами x=2;a=0
и подставим значения x
и aв первое
неравенство: .
Следовательно в области, содержащей эту точку, дробь в левой части первого
неравенства меньше нуля. При переходе через график знак меняется:
Нас интересуют области, где левая часть
неравенства меньше или равна нулю:
Теперь займемся вторым неравенством системы: 
Числитель
обращается в ноль в точках параболы 
,
а знаменатель в точках прямой a=x:
Определим знак дроби в левой части неравенства в
точке с координатами x=2;a=0.
Нас интересуют области, в которых выполняется
неравенство:
Совместим закрашенные области:
Итак, множество точек координатной плоскости (x;a)
удовлетворяющих системе неравенств представляют из себя такую фигуру:
По условию задачи, нам нужно узнать, при каком
значении параметра неравенство имеет единственное решение на отрезке [1;3] , то есть в
этой выделенной области:
Если мы будем двигать прямую, параллельную оси x
вдоль оси a(
ординаты
всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что
эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при a=3:
Ответ: {3}
Заключение
На протяжений своей работы я прочитала и изучила решение и способы как решаются примеры дробно-рациональные неравенство с параметром. Я ставила перед собой цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу, простые методы. Чтобы раскрыть тему я рассматривала каждую тему отдельно. Я усвоила алгоритм решения неравенство методом интервалов, научилась применят метод интервалов для решения неравенство, дробно-рациональных неравенств с параметрами. Узнала какие есть типы, какими способами можно решить трудные задачи, некоторые замечания.
В настоящее время эта тема стала как никогда актуальной, так как задачи с параметром стали часто встречаться в едином государственном экзамене. Задачи с параметром позволяют получить достаточно точную информацию об уровне развития логического мышления учащихся, умений решать новые задачи, проводить исследования.
Работа над данной темой доставила мне не только трудности, но и удовольствие.
Я восстановила в памяти весь
теоритический материал, углубила и расширила свои знания по методам решения
дробно-рациональные неравенство с параметром.
Список литературы
1)C.М.Никольский, Алгебра и начала анализа.//Учебник для 10класса общеобразовательных учреждения; 2003.С.3-6§2п.2.7-2.9.
)Беляева,Э.С, Математика,Уравнения и неравенства с параметром // Учебное пособие;2009.C.8-13,29-34.
)П. И. Горнштейн,В. Б. Полонский, М. С. Якир,Задачи с параметрами.//3-е издание, дополненное и переработанное.-Илскса, Харьков: Гимназия; 2005,C.11-12,41-55.
)В.В.Вавилов, И.И Мельников,Задачи по математике,Уравнения и неравенства.// 2-е издание,Физматлит; 2007.
)Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б,// Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс.2002.
)Заданий ЕГЭ по математике брошюра//2005,С.37.
)М.Я.Выгодский,Справочник по элементарной математике.// Издательство "наука";М.:2006.C.250-262.