Материал: Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов

Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет"

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРИИ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРЕПОДОВАНИЯ

МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Направление подготовки: "050100.62:педагогическое образование"

Курсовая работа

Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов

Студентка II курса

Гарифуллина Алсу Ильфатовна

Научный руководитель:

Доктор педагогических наук, профессор

Лилиана Рафиковна Шакирова

Казань - 2014

Введение

Тема "Решение дробно-рациональных неравенств с параметром методом интервалов" занимает очень важное место в курсе алгебры. Это тема очень важная и значимая. Она богата по содержанию, также по способам и приемам решения неравенств. Дробно-рациональных неравенств с параметром широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Также это тема представляет собой богатейший материал для полноценной математической деятельности учащихся. С их помощью можно проверить глубину знания математики средней школы, выявить склонности к исследовательской деятельности, нестандартность мышления. Отсутствие этой темы значительно обедняет курс математики. Также изучение многих физических процессов часто приводит к решению задач с параметрами. В некоторых контрольных, на самостоятельных работах, а также включают и в экзаменационные билеты, много задач и в ЕГЭ также встречаются неравенства с параметром, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу, простые методы. На мой взгляд, графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами. Чтобы раскрыть тему я рассматривала каждую тему отдельно и привела примеры каждом подпунктам. В моём курсовом работе рассмотрены часто встречающиеся типы неравенств, дробно рациональные неравенство с параметрами и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне разобраться и узнать по-больше метод решений этих неравенств.

1. Метод интервалов

Метод интервалов является одним из важнейших методов математической деятельности, связанный, прежде всего, с вопросами нахождения нулей функции или промежутков ее знак постоянства для неравенства. Также метод интервалов исключительно эффективен и важен в вопросах исследования функций и построения графиков. Встречается, при выявлении асимптотического изменения графика функции, в вопросах местоположения точек и видов экстремума, а также промежутков монотонности функции. Именно этот метод более эффективен и при решении различного вида задач, без него совершенно невозможно обойтись, решая сложные неравенства. Также следует отнести простоту его понимания и эффективность в практическом использовании.

Когда применяется метод интервалов необходимо учитывать несколько замечаний.

Замечаний 1 Метод интервалов используется тогда и только тогда, когда многочлен или дробное выражение сравниваются с нулем.

Замечаний 2 Во вторую очередь, раскладывают на множители: многочлен или числитель и знаменатель дробного выражения.

Замечаний 3 Если неравенство приведено к каноническому виду, то на крайнем правом промежутке знак "+". Канонический вид неравенства - это произведение различных двучленов и "не раскладываемых" многочленов, в которых старший коэффициент положительный.

Решениями неравенства методом интервала можно решить несколькими методами:) 3х - 5>10 - линейное неравенство. Решение методом переноса: 3х>15, т.е. х>5, и т.д.) х2>0 можно решить перебором чисел.) Более сложные неравенства ( дробные, рациональные и др.)

Я хочу в своем работе показать и подробно описать 3 пункт более сложные неравенство это рациональные и дробно-рациональные неравенство.

Рациональное неравенство.

Определение 1

Неравенство, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно x,называют рациональными неравенством с неизвестным x.

Например:

(5x+1)(3-2x)<0

(4x-6/5-x)>2

Определение2

Решением неравенства с неизвесным x называются число,при подстановки которого в это неравенство вместо x получается верное числовое неравенство вместо x получается верное числовое неравенство.

Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет.

x-x0<0 x-x0>0

Метод интервалов для решения неравенств вида A(x)<0 и A(x)>0и

основан на следующем утверждении Точка x0 делит ось Ox на две части:

1)Для любого x,находящегося справа от точки X0,двучлен x-x0 положителен;

2)для любого x,находящегося слева от точки X0 ,двучлен x-x0 отрицателен.

Пусть требуется решить неравенство

(X-) (X-)∙…∙(X-)>0;Не нарушая общности, положим

(X-)(X-)(X-)(X-)>0 Тогда:

Аналогично рассуждая, получим, что (X-)(X-)(X-)(X-)>0

для X из интервалов и (;∞), (;), (-∞;);

(X-)(X-)(X-)(X-)<0 для x интервалов, (;), (;),

Замечание 1.

Сами числа (;),(;) не являются решением неравенства

(X-)(X-)(X-)(X-)>0

Замечание 2.

Множество решений неравенств вида A(x)≥0 и A(x)≤0 и где,

(x)=(X-) (X-)∙…∙(X-);

есть объединение множества всех решений n ≥ 1,n∈N неравенств A(x)>0 и A(x)<0 и множества всех решений уравнения A(x)=0

Замечаний 4 Если неравенство приведено к каноническому виду, то на крайнем правом промежутке знак"+".

Замечаний 5 Знак неравенства "нестрогий": на числовой прямой корни многочлена или числителя - закрашенные кружки. Корни знаменателя для "строгих" и "нестрогих" неравенств - "пустые" .

Дробно-рациональные неравенства.

Определение. Дробно-рациональным называют неравенство вида , где  и  - многочлены.

В отличие от рациональных неравенств, дробно - рациональные могут быть определены не для всех значений переменной. А именно, необходимо исключить из рассмотрения такие значения , при которых многочлен  обращается в ноль (так как на ноль делить нельзя!).

Если с другой стороны посмотреть очевидно, что на всех допустимых значениях дробно-рациональное выражение  и многочлен - произведение  имеют одинаковый знак.

интервал математический дробный неравенство

2. Алгоритм решения

Алгоритм решения дробно-рационального неравенства методом интервалов.

.        Дробно-рациональное выражение  преобразуем в многочлен - произведение (x)=p(x)∙g(x)

.        Многочлен раскладываем на неприводимые множители: =(+x+…(+x+(x-…(x-

.        Сокращаем неприводимые множители второго порядка - квадратные трехчлены,

.        Откладываем на числовой оси корни многочлена,

.        В зависимости от знака коэффициента  определяем знаки многочлена  на получившихся интервалах по правилу:

a.       На крайнем правом полуинтервале (когда x>x_l) знак многочлена совпадает со знаком коэффициента,

b.      Перемещаемся по числовой оси влево. При прохождении очередного корня x_i знак многочлена меняем на противоположный, если множитель (x- имеет нечетную степень  (в том числе - единицу), и сохраняем знак, если эта степень - четная,.         В зависимости от того, как распределился знак у рассматриваемого неравенства, выбираем в ответ "положительные" или "отрицательные" интервалы,.     В случае если неравенство нестрогое, в ответ включаем все корни многочлена p(x),

e.       Обязательно исключаем из ответа все корни многочлена g(x).

Примеры

Рассмотрим примеры решения дробно-рациональных неравенств.

Решение. 1. Сначала найдем область допустимых значений неравенства (далее сокращенно будем писать - ОДЗ). Очевидно, что .

. Преобразуем дробно-рациональное неравенство в рациональное:

.

3. Разложим на множители левую часть полученного неравенства:

.

4. Заметим, что корни многочлена - числа -2, 1, 4 и 7, имеют кратность "единица", отложим их на числовой оси и расставим на полученных интервалах знаки неравенств:

. Выписываем окончательный ответ, включая в него корни многочлена, стоявшего в числителе и исключая корни знаменателя.

Ответ: .

Внимание! Для записи ответа можно использовать как неравенства, так и промежутки. Например, данный ответ можно записать также в виде: .

В следующем примере мы рассмотрим неравенства с кратными корнями.

Пример 2. Решить неравенство: .

Решение. Заметим сначала, что первое выражение в числителе и выражение в знаменателе являются полными квадратами. Далее: знаменатель обращается в ноль при , поэтому ОДЗ: .

Перейдем к рациональному неравенству, получаем: .

Отложим на числовой оси корни многочлена из левой части полученного неравенства и определим знаки этого многочлена на полученных интервалах. С учетом кратности корней -2 и 2 получим:

Обратите внимание на то, что знак меняется только в 9, а в 2 и -2 он сохраняется, так как это корни четной кратности.

"Соберем" теперь ответ: к основному интервалу - лучу  добавляем корни числителя 2 и 9, а корень знаменателя -2 исключаем. Ответ: .

Рассмотрим еще один важный пример, так как именно в таких заданиях абитуриенты делают много ошибок.

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство не похоже на каноническое дробно-рациональное, но оно сводится к таковому. Главное - сделать это правильно. Для этого перенесем дробь из правой части неравенства в левую и приведем полученную разность двух дробей к общему знаменателю:

.

Сократим числитель на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: . Теперь перед нами каноническое дробно-рациональное неравенство, эквивалентное исходному. Решим его методом интервалов. Ответ: .

Замечание. Часто такие задачи решают неправильно, а именно: просто умножают числитель левой части на знаменатель правой и наоборот. В результате получается совершенно другое неравенство: , которое сводится к линейному неравенству  ответ для которого:  только частично совпадает с правильным.

Пример4.С3

Решение.Решим неравенство методом интервалов.Найдем нули функций f(x)=x,стоящей под знаком модуля: x=0.

.Если x≤0,то неравенство примет вид

 >0,>0.

x∈(-∞;-5)∪(-2;0].