2.2. Дифракция света

Дифракция волн заключается в огибании волнами препятствий или в отклонении волн в область геометрической тени, при прохождении через отверстия при условии, что линейные размеры этих препятствий порядка или меньше длины волны. Тип волн не имеет значения: дифракция наблюдается и для звука, и для света, и для любых других волновых процессов.

Наблюдение дифракции световых волн возможно только тогда, когда размеры препятствий будут порядка 10^-6-10^{-7 м} (для видимого света). Когда размеры щели сравниваются по порядку с длиной волны, щель становится источником вторичных сферических волн, интерференция которых и определяет картину распределения интенсивности за щелью. В частности, свет проникает в геометрически недоступную область. Таким образом, в видимой области спектра наблюдать дифракцию нелегко. Для электромагнитных волн в других диапазонах дифракция наблюдается повседневно, везде и всюду, так как, если бы не это явление, мы не смогли бы, например, слушать радио в закрытых помещениях.

Согласно общепринятому определению, дифракция света - явление, наблюдающееся при распространении света мимо резких краёв непрозрачных или прозрачных тел, сквозь узкие отверстия. При этом происходит нарушение прямолинейности распространения света, т. е. отклонение от законов геометрической оптики. Вследствие дифракции света при освещении непрозрачных экранов точечным источником света на границе тени, где, согласно законам геометрической оптики, должен был бы происходить скачкообразный переход от тени к свету, наблюдается ряд светлых и тёмных дифракционных полос. Поскольку дифракция свойственна всякому волновому движению, открытие дифракции света в 17 в. итальянским физиком и астрономом Ф. Гримальди и её объяснение в начале 19 в. французским физиком О. Френелем явились одним из основных доказательств волновой природы света. Приближённая теория дифракция света основана на применении Гюйгенса - Френеля принципа. Для качественного рассмотрения простейших случаев дифракция света может быть применено построение зон Френеля. При прохождении света от точечного источника через небольшое круглое отверстие в непрозрачном экране или вокруг круглого непрозрачного экрана наблюдаются дифракционные полосы в виде концентрических окружностей. Если отверстие оставляет открытым чётное число зон, то в центре дифракционной картины получается тёмное пятнышко, при нечётном числе зон - светлое. В центре тени от круглого экрана, закрывающего не слишком большое число зон Френеля, получается светлое пятнышко. Принцип Гюйгенса – Френеля позволяет объяснить явление дифракции и дать методы ее количественного расчета. Различают два случая дифракции. Если преграда, на которой происходит дифракция, находится вблизи от источника света или от экрана, на котором производится наблюдение, то фронт падающих или дифрагированных волн имеет криволинейную поверхность; этот случай называется дифракцией Френеля или дифракцией в расходящихся лучах, т. е. где b - размер отверстия, z - расстояние точки наблюдения от экрана, l - длина волны (дифракция Френеля), и дифракция света в параллельных лучах, при которой отверстие много меньше одной зоны Френеля, т. е. (дифракция Фраунгофера). В последнем случае при падении параллельного пучка света на отверстие пучок становится расходящимся с углом расходимости j ~ l/b (дифракционная расходимость). Плоские волны получаются либо удалением источника света и места наблюдения от преграды, вызывающей дифракцию, либо применением соответственного расположения линз.

2.2.1. Принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо, чтобы препятствия были соизмеримы с длиной световой волны.

Согласно принципу Гюйгенса каждая точка пространства, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, огибающая которых задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Волновой фронт − геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, (интенсивности) волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн. Каждый элемент волновой поверхности S (рис. 8) служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS.

Рисунок 8 – Образование вторичной волны

Амплитуда этой вторичной волны убывает с расстоянием r от источника вторичной волны до точки наблюдения по закону 1/r. Следовательно, от каждого участка dS волновой поверхности в точку наблюдения Р приходит элементарное колебание: , (10)

где (ωt + α₀) − фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k − волновое число, r − расстояние от элемента поверхности dS до точки P, в которую приходит колебание. Множитель а₀ определяется амплитудой светового колебания в месте наложения элемента dS. Коэффициент K зависит от угла φ между нормалью к площадке dS и направлением на точку Р. При φ = 0 этот коэффициент максимален, а при φ/2 он равен нулю.

Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний (12), взятых для всей поверхности S:

(11)

Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля

2.2.2. Зоны Френеля

Дифракция Френеля играет основную роль в волновой теории, т.к. вопреки принципу Гюйгенса и на основе принципа Гюйгенса - Френеля, объясняет прямолинейность распространения света в свободной от препятствий однородной среде. Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший сильно упростить решение задач (метод зон Френеля).

Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S, находящиеся на расстоянии l+/2 от точки M (рис. 9). Точки сферы S, находящиеся на расстояниях l+2/2, l+3/2, и т.д. от точки M, образуют 2, 3 и т.д. зоны Френеля.

Колебания, возбуждаемые в точке M между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки M △ = /2.

Рисунок 9 – Зоны Френеля

Поэтому при сложении этих колебаний, они должны взаимно ослаблять друг друга:

А = А₁-А₂+А₃-А₄+…+А_i, (12)

где A – амплитуда результирующего колебания, А_i – амплитуда колебаний, возбуждаемая i-й зоной Френеля. Величина А_i зависит от площади S_i зоны и угла _i между нормалью к поверхности и прямой, направленной в точку M.

Площадь одной зоны:

. (13)

Отсюда видно, что площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны i. Это значит, что при не слишком больших i площади соседних зон одинаковы. В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол _i и, следовательно, уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки M, т.е. уменьшается амплитуда А_i . Она уменьшается также из-за увеличения расстояния до точки M:

А₁>А₂>А₃>…>А_i>… . (14)

Общее число зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной в сторону точки M, очень велико: при R = l = 0,1 м,  = 5*10^-7 м = 500 нм, число зон N ≈ 3*10⁵ , а радиус первой зоны r₁ ≈ 0,16 мм. Отсюда следует, что углы между нормалью к зоне и направлением на точку M у соседних зон примерно равны, т.е. что амплитуды волн, приходящих в точку M от соседних зон, примерно равны.

Световая волна распространяется прямолинейно. Фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на π. Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания   от некоторой m-й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.

 . (15)

Тогда выражение (15) можно записать в виде

(16)

Так как площади соседних зон одинаковы, то выражения в скобках равны нулю, значит результирующая амплитуда   . Интенсивность излучения JA² . Таким образом, результирующая амплитуда, создаваемая в некоторой точке M всей сферической поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной, а интенсивность J = J₁/4 (17) . Так как радиус центральной зоны мал (r₁ ≈ 0,16 мм.), следовательно, можно считать, что свет от точки P до точки M распространяется прямолинейно.

Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке M будет равна . Соответственно, интенсивность в точке M будет в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана (т.к. J = J₁/4). Интенсивность света увеличивается, если закрыть все четные зоны.

Таким образом, принцип Гюйгенса–Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде. Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонные пластинки – система чередующихся прозрачных и непрозрачных колец. Опыт подтверждает, что с помощью зонных пластинок можно увеличить освещенность в точке М, подобно собирающей линзе.

2.2.3. Дифракция от одной щели

Пусть в непрерывном экране есть щель: ширина щели AB = b, длина щели (перпендикулярно плоскости листа) l>>b (рис. 10). На щель падают параллельные лучи света. Для облегчения расчета считаем, что в плоскости щели АВ амплитуды и фазы падающих волн одинаковы.

Рисунок 10 – Дифракция от одной щели

Разобьем щель на зоны Френеля так, чтобы оптическая разность хода между лучами, идущими от соседних зон, была равна /2. Если на ширине щели укладывается четное число таких зон, то в точке  (побочный фокус линзы)  будет наблюдаться минимум интенсивности, а если нечетное число зон, то максимум интенсивности:

– условие минимума интенсивности; (17.1)

– условие максимума интенсивности. (17.2)

Картина будет симметричной относительно главного фокуса точки F₀. Знак плюс и минус соответствует углам, отсчитанным в ту или иную сторону. Интенсивность света JA². Как видно из рис. 10 центральный максимум по интенсивности превосходит все остальные. Т.к. условие минимума имеет вид , отсюда

. (18)

Из этой формулы видно, что с увеличением ширины щели b положения минимумов сдвигаются к центру, центральный максимум становится резче. При уменьшении ширины щели b вся картина расширяется, расплывается, центральная полоска тоже расширяется, захватывая все большую часть экрана, а интенсивность ее уменьшается.

2.2.4. Дифракция от дифракционной решетки

Более совершенным прибором, позволяющим проводить спектральный анализ света, является дифракционная решетка. Одномерная дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, разделенных также одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками (рис. 11 (а)).

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.

Обозначим: b – ширина щели решетки; а – расстояние между щелями; a+b = d –постоянная дифракционной решетки. Линза собирает все лучи, падающие на нее под одним углом, и не вносит никакой дополнительной разности хода.