Метод абстрагирования часто используется при решении текстовых (сюжетных) задач. Поэтому в педагогическом вузе этому типу задач следует уделять особое внимание при изучении всех математических дисциплин, так или иначе связанных со школьным курсом математики. Например, в нашем вузе в отдельную дисциплину выделена дисциплина по выбору «Экстремальные задачи в школьном курсе математики». Не секрет, что не только экстремальные, но и другие текстовые задачи всегда вызывали трудности не только у школьников, но и у студентов математических профилей. Как показывают практика работы в педагогическом вузе и результаты анализа материалов ЕГЭ последних лет, формирование умения решать текстовые задачи в школе не достигает достаточного уровня. Иногда выпускники при сдаче ЕГЭ даже не начинают решение таких задач и пропускают их.
Однако следует заметить, что умение решать текстовые задачи выступает как важнейший элемент развития умения обучающихся строить и использовать математические модели. Способность выполнять эти действия оказывает большое влияние на развитие математического мышления школьников и студентов.
При решении алгебраических текстовых задач необходимо правильно организовать поиск решения, используя специальную систему вопросов. Обычно учащимся задают вопросы типа: «Что дано в задаче?», «Что требуется найти?», «Что надо принять за неизвестное?» Эти вопросы могут быть, но они не должны быть первыми. Вначале учащиеся должны выяснить, какой процесс описан в задаче, сколько ситуаций рассматривается в ней, затем выявить основное отношение и записать формулу, выражающую зависимость данных величин. После этого необходимо установить, как из формулы выразить одну из величин через остальные величины, и лишь затем они могут ответить на указанные выше вопросы. Разные методические подходы к обучению школьников решению текстовых задач приведены в учебном пособии [5].
2. Геометрический компонент. Под геометрическим компонентом математических способностей мы понимаем: а) способность получать необходимую информацию из условия данной задачи путем ее анализа или дополнения с помощью построения рисунков, моделей фигур, мысленного представления; б) способность переводить задачу на геометрический язык и использовать наглядные образы при решении негеометрических задач, в частности алгебраических. Первая способность формируется и развивается в основном при решении геометрических задач (см., например, [6]). Действия, адекватные деятельности по развитию второй способности, можно формировать у студентов при решении алгебраических задач геометрическим методом. Наибольший эффект достигается при решении текстовых алгебраических задач геометрическим методом, предполагающим построение геометрической модели задачи и использование при решении законов геометрии. В качестве геометрических моделей алгебраических задач можно использовать одномерные и двумерные диаграммы, графики функций и другие геометрические фигуры [7]. Построенная геометрическая модель позволяет студентам или школьникам лучше воспринимать процесс, представленный в задаче, видеть иногда скрытые зависимости между величинами. Удерживая в памяти геометрическую модель, можно мысленно достраивать ее, анализировать, искать другие способы решения.
Использование геометрических представлений при решении алгебраических задач или задач математического анализа позволяет интегрировать алгебраический и геометрический методы и тем самым развивать в единстве понятийно-логическое и образное мышление. Данный подход на разных уровнях можно использовать как в школе, так и в вузе.
Для студентов - будущих педагогов в Мордовском государственном педагогическом университете им М.Е. Евсевьева, например, введена специальная дисциплина «Интеграция алгебраического и геометрического методов в обучении математике», которая ориентирована на формирование умений использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, на решение задач и доказательство теорем разными методами: алгебраическими и геометрическими. При этом развиваются такие способности мышления, как гибкость, изобретательность, стремление к рациональности решения.
Большую роль в формировании и развитии математических способностей учащихся играют эвристики. Использование эвристик в обучении математике, в частности при поиске решения задач, подробно описано в учебном пособии профессора Г.И. Саранцева [8].
3. Логический компонент математических способностей. В школе для развития этого компонента служит систематический курс геометрии с его определениями, теоремами и доказательствами. Однако вне геометрии школьники и студенты первых курсов испытывают трудности в проведении четких логических рассуждений. Это видно, прежде всего, при решении задач на применение принципа математической индукции, где требуется понимание точного смысла сложной логической конструкции, а также при решении некоторых олимпиадных задач, где требуется только умение уловить смысл вопроса и затем последовательно рассуждать.
В курсе математического анализа способность логического рассуждения развивается при доказательстве теорем методом от противного, теорем, выражающих необходимые условия, достаточные условия, необходимые и достаточные условия. В каждой части студенты должны выделить, что дано и что требуется доказать, а затем исходя из того, что дано, логически рассуждая и обосновывая каждый шаг, прийти к тому, что требуется [9].
Большое значение для развития логического мышления имеют переформулировка теоремы или формулировка обратной теоремы и проверка ее истинности, приведение примеров и контрпримеров к данным утверждениям, выполнение тестовых заданий типа: «Верно ли утверждение ...» или «Можно ли утверждать, ...» с обоснованием ответов, например:
1) Верно ли утверждение: «Если последовательность {xn + yn} бесконечно большая, то одна из последовательностей {xn}, {yn} не ограничена». Ответ обосновать.
2) Может ли функция иметь экстремум в точке, в которой ее график имеет перегиб? Ответ обосновать.
3) Может ли функция, непрерывная на множестве М, принимать на этом множестве только два различных значения, если:
а) М - отрезок; б) М = [-1; 2] U [4; 5]; в) М = [0; 1] U {3}?
Большое влияние на развитие логических способностей студентов оказывает решение задач: поиск рационального способа решения, рассмотрение всех частных случаев, проведение доказательных рассуждений и т.д. Целесообразно предлагать для решения не только типовые, но и нестандартные, достаточно сложные содержательные задачи. В Мордовском государственном педагогическом университете им М.Е. Евсевьева с этой целью введены дисциплины по выбору «Решение задач повышенного уровня сложности» отдельно по алгебре, математическому анализу, геометрии. В школе такие задачи обычно решают в рамках факультативного курса или дополнительных занятий. Различные методы и приемы решения олимпиадных задач разного уровня сложности для учащихся 10-11-х классов представлены в работе Э.Н. Балаяна [10].
4. Алгоритмический компонент математических способностей. Развитие данного компонента у учащихся имеет сегодня особое значение в связи с широким применением компьютеров и компьютерной техники во всех видах деятельности человека. Использование компьютеров предполагает выполнение действий в строго определенной последовательности, т.е. алгоритмическую деятельность, поэтому формирование алгоритмического мышления обучающихся является одной из важных задач учителя в школе и преподавателя в вузе.
Алгоритмические (вычислительные) способности включают в себя: 1) способность выполнять последовательно тождественные преобразования или вычисления, применять известные алгоритмы и методы при решении конкретных задач; 2) способность представлять сложную задачу в виде системы элементарных действий; 3) способность применять к решению задачи аналитические методы: алгебраический, тригонометрический, векторный, методы дифференциального и интегрального исчислений.
Алгоритмы и алгоритмические схемы можно широко использовать при изучении математического анализа в педвузе. К таким алгоритмам относятся, например, следующие алгоритмы: исследование функции на непрерывность; составление касательной к кривой в данной точке; исследование функции на экстремум; нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке (или интервале); решение текстовых задач на экстремум и т.д. Целесообразно давать студентам задания на составление алгоритма, его проверку и применение в решении задач определенного типа. Формирование таких умений в вузе позволит будущему учителю применять алгоритмы и алгоритмические схемы при обучении школьников математике и тем самым развивать у них алгоритмическое мышление.
Алгоритмические способности проявляются в умении оптимально преобразовывать сложные буквенные выражения, находить рациональные способы решения уравнений и неравенств, вычисления пределов и интегралов, площадей и объемов с помощью интеграла, особенно если эти способы не являются стандартными.
В курсе математического анализа многие задачи и упражнения допускают несколько методов (способов) решения. При решении задач разными методами развиваются гибкость, изобретательность мышления, формируются умения анализировать полученную информацию, интегрировать знания из разных разделов математики.
Для выбора рационального способа решения задачи следует учить студентов анализировать полученную информацию и лишь затем приступать к решению. Например, если надо вычислить предел функции, то сначала студент должен установить, имеется неопределенность или нет, если есть, то какого она вида, какие способы существуют для раскрытия этой неопределенности, какой из них наиболее оптимальный в данном случае и почему? Лишь после ответа на эти вопросы он может принимать решение о выборе того или иного метода. На практике обычно студент, не проведя анализ, сразу же пытается использовать тот или иной прием (метод) без его обоснования, и это часто приводит его к неудачам. Аналогичная ситуация бывает с решением задач на вычисление производных, интегралов, нахождение площадей и объемов с помощью интеграла, исследование рядов на сходимость и т.д.
При работе над развитием логических и алгоритмических способностей важно обучать школьников и студентов свертыванию процесса рассуждения, рекомендуя постепенно сокращать записи, особенно при вычислениях и тождественных преобразованиях. В результате из накапливающегося опыта и знания рождается интуиция - способность непосредственного постижения истины без предварительного логического рассуждения. Интуитивное «озарение» связано с подсознательным мышлением, имевшим место в таких великих открытиях, как периодический закон химических элементов Д.И. Менделеева, теория относительности А. Эйнштейна. Подчеркивая роль скорости мыслительной деятельности математика, В.А. Крутецкий писал: «Быстрота мыслительной работы как временная характеристика. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко» [2]. Способность к такому мышлению является обязательным компонентом общей схемы математических способностей.
В последнее время значительно возросло количество проводимых математических олимпиад разного уровня. О связи решения задач с математическими способностями писал еще Б.В. Гнеденко: «Велико значение математических олимпиад, но в развитии математических интересов школьников они играют все же ограниченную роль. Они развивают преимущественно лишь умение решать нестандартные задачи. Математические же способности могут проявляться не только в этом... Неудачи в олимпиадах вовсе не означают отсутствия математического таланта» [3, с. 67]. Большую роль здесь играют работоспособное подсознание, постоянный настрой на работу в любых условиях.
Наряду с особенностями умственной деятельности обучающихся следует выделить и некоторые их личностные качества, которые влияют на развитие математических способностей, например: энергичность, уравновешенность, работоспособность, волю, терпение, умение сосредоточиться, а также интуицию.
Исключительная роль в развитии математических способностей принадлежит математическому мышлению, основные черты которого выделил А.Я. Хинчин (1961): 1) доминирование логической схемы рассуждения; 2) лаконизм (стремление находить кратчайший путь к цели); 3) четкая расчлененность хода рассуждения; 4) точность (каждый математический символ имеет строго определенное значение). Систематическое развитие математического мышления напрямую влияет на развитие математических способностей, а последние ведут к развитию математической культуры обучающихся.
В обучении математике необходимо учитывать стиль мышления обучающегося. Согласно открытиям в области физиологии, у одних людей больше развито левое полушарие головного мозга, поэтому преобладает логико-вербальный тип мышления, а у других больше развито правое полушарие, отвечающее за пространственно-образное мышление. Между разными типами мышления нет четких границ, и они оба присутствуют у человека одновременно. Поэтому выявление и развитие преобладающего стиля мышления учащегося являются одной из задач преподавателя в процессе обучения математике.
Перечисленные выше личностные качества характера, а также компоненты математических способностей необходимо развивать не только у школьников, но и у студентов вуза. Линия на развитие математических способностей студентов в процессе обучения неразрывно связана с принципами отбора содержания математического образования в педагогическом вузе. В условиях модернизации высшего образования и сокращения количества часов на фундаментальные дисциплины отбор содержания становится особенно актуальным. При этом основными являются следующие принципы: