Реализация преемственности в развитии математических способностей школьников и студентов вуза математических профилей педагогического направления
Капкаева Л.С., ФГБОУ ВО «Мордовский государственный педагогический университет им М.Е. Евсевьева»
В статье обоснована необходимость реализации преемственности в развитии математических способностей школьников и студентов вузов математических профилей педагогического направления. Рассмотрены исторические аспекты исследования структуры математических способностей школьников и выделены их основные компоненты, которым следует уделить особое внимание при обучении математике в школе и педагогическом вузе. На основе анализа научной литературы были выделены такие компоненты математических способностей, как способность оперировать абстракциями, геометрический компонент, логический и алгоритмический компоненты. Определены направления реализации преемственности в развитии этих компонентов у школьников и студентов математических профилей педвуза.
На примерах конкретных учебных дисциплин проиллюстрированы возможности установления преемственности в развитии математических способностей школьников старших классов и студентов вуза. Показано, что основным средством реализации преемственности в развитии математических способностей обучающихся являются упражнения в виде тестов, специальных задач и методы их решения. В ходе исследования было установлено, что для эффективного развития математических способностей у студентов педвуза необходимо соблюдать специальные принципы отбора содержания, которые образуют систему, направленную как на повышение качества математической подготовки и развитие математических способностей студентов, так и на формирование умений использовать полученные знания для развития математических способностей школьников.
Ключевые слова: математические способности школьников и студентов, компоненты математических способностей, преемственность в развитии математических способностей, принципы отбора содержания.
Implementation of continuity in the development of the mathematical abilities of pupils and university students of the mathematical profiles of the pedagogical direction
Kapkaeva L.S., Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education «Mordovian State Pedagogical University named after M.E. Evseviev»
The article substantiates the need for the implementation of continuity in the development of mathematical abilities of schoolchildren and university students of mathematical profiles of the pedagogical direction. The historical aspects of the study of the structure of the mathematical abilities of schoolchildren are considered and their main components are highlighted, which should be given special attention in teaching mathematics at school and at a pedagogical university. Based on the analysis of scientific literature, such components of mathematical abilities as the ability to operate with abstractions, geometric component, logical and algorithmic components were identified. The directions of the implementation of continuity in the development of these components in schoolchildren and students of mathematical profiles of the pedagogical university are determined.
On examples of specific academic disciplines, the possibilities of establishing continuity in the development of the mathematical abilities of senior schoolchildren and university students are illustrated. It is shown that the main means of implementing continuity in the development of students' mathematical abilities are exercises in the form of tests, special problems and methods for their solution. In the course of the study, it was found that for the effective development of mathematical abilities among students of a pedagogical university, it is necessary to observe special principles for the selection of content, which form a system aimed both at improving the quality of mathematical training and the development of students' mathematical abilities, and at the formation of skills use the knowledge gained to develop the mathematical abilities of schoolchildren.
Keywords: mathematical abilities of schoolchildren and students, components of mathematical abilities, continuity in the development of mathematical abilities, principles of content selection.
На современном этапе широкое распространение информационно-коммуникационных технологий, предполагающих использование компьютеров в разных видах деятельности, требует совершенствования математической подготовки выпускников образовательных организаций разного уровня: среднего и высшего. Поэтому возникает проблема более глубокого и качественного изучения математики в школе и вузе, развития математических способностей школьников и студентов.
Очевидно, что для педагогических вузов решение этой проблемы имеет особую значимость, так как выпускники этих заведений должны не только владеть необходимыми знаниями, умениями, иметь достаточный уровень развития математических способностей, но и быть готовыми к организации учебно-познавательной деятельности по открытию этих знаний, формированию умений и развитию математических способностей у своих воспитанников.
Для решения указанной проблемы многое сделано в области общего образования в 1980-1990-е гг. Были созданы специальные физико-математические школы, а в обычных средних школах открыты математические классы. При вузах создавались профильные лицеи. Например, в 1992 г. при Мордовском государственном университете имени Н.П. Огарева (г. Саранск) был открыт естественно-технический лицей, который и в настоящее время готовит качественных выпускников для соответствующих профилей высшего образования. Для углубленного изучения математики в школе были созданы специальные учебники, такие как: «Алгебра и математический анализ» (авторы: Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд), «Геометрия» (авторы: А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик) и др.
Несмотря на это, проблема выявления и развития математических способностей обучающихся по-прежнему актуальна и требует дополнительного исследования, особенно в направлении преемственности между школой и педагогическим вузом. Необходимо ответить на ряд вопросов: каким компонентам математических способностей следует уделить особое внимание при обучении студентов вуза математических профилей педагогического направления, какие методы, формы и средства следует использовать для развития этих компонентов, какие из математических дисциплин создают наиболее благоприятные условия для целенаправленного развития математических способностей и формирования профессиональных компетенций студентов в этой области, и т.д. Как показывает практика, эффективное развитие математических способностей студентов педвуза возможно в условиях соблюдения преемственности развития их основных компонентов в системе «школа - вуз».
В теоретическом плане актуальность проблемы установления преемственности в развитии математических способностей школьников и студентов обусловлена необходимостью разрешения следующих противоречий: между требованиями федеральных государственных образовательных стандартов среднего и высшего образования применять активные методы и формы обучения, направленные на развитие обучающихся, и неэффективной организацией учебной деятельности школьников и студентов в процессе их математической подготовки; между потребностями современного общества в развитии математических способностей личности и недостаточной разработанностью данной проблемы на разных уровнях образования в методике обучения математике.
Для решения поставленной проблемы необходимо было выделить основные компоненты математических способностей, которые следует развивать у школьников и студентов педвуза. Структуру математических способностей исследовали как зарубежные, так и отечественные выдающиеся психологи, педагоги, математики: В.А. Крутецкий, Н.А. Менчинская, К.К. Платонов, И.С. Якиманская, А. Роджерс, К. Дункер, Ж. Адамар, Ж. Пиаже, А. Пуанкаре, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин и др.
Одним из инициаторов изучения данной проблемы в начале XX в. был выдающийся французский математик А. Пуанкаре, который в своей работе «Математическое творчество» (1909) констатировал специфичность творческих математических способностей и указал их важнейший компонент - математическую интуицию. Впоследствии, изучая математические способности школьников, психологи стали выделять три вида способностей: арифметические, алгебраические и геометрические.
В это же время русский ученый-психолог А.Ф. Лазурский выделил «психологические функции», характеризующие мышление при изучении арифметики: 1) систематичность и последовательность мышления; 2) отчетливость мышления; 3) способность к обобщениям; 4) сообразительность; 5) способность к установлению связи между приобретенными математическими знаниями и явлениями жизни; 6) память в области чисел.
В 1930-е гг. была опубликована работа американского психолога Э. Торндайка «Вопросы преподавания алгебры. Психология алгебры» (1934), в которой представлены результаты исследований алгебраических способностей школьников. Сначала автор выделил общие алгебраические способности: 1) способность обращаться с символами; 2) способность выбора и установления соотношений; 3) способность к обобщению и систематизации; 4) способность к выбору существенных элементов и данных; 5) способность приводить в систему идеи и навыки. К непосредственно алгебраическим способностям он относит: 1) понимать и составлять формулы; 2) выражать в виде формул количественные соотношения; 3) преобразовывать формулы; 4) составлять уравнения, выражающие данные количественные отношения; 5) решать уравнения; 6) выполнять тождественные алгебраические преобразования; 7) выражать графически функциональную зависимость величин и т.п.
Большое внимание математическим способностям уделяли советские математики. Так, академик А.Н. Колмогоров в своей работе «О профессии математика» (1960) выделил три основных компонента математических способностей школьников: 1) вычислительный, или «алгоритмический» (способность умелого преобразования сложных буквенных выражений, нахождения удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила, и т.д.); 2) геометрический (геометрическое воображение, или «геометрическая интуиция»); 3) логический (искусство последовательного логического рассуждения) [1, с. 10].
Определенная структура математических способностей школьников раскрыта и в работах известного педагога-математика А.И. Маркушевича. Он выделил следующие качества ума и характера, которые можно воспитать в процессе обучения математике: умение абстрагировать, умение схематизировать, дедуктивное мышление. В отличие от некоторых психологов, А.И. Маркушевич умение абстрагировать ставил на первое место, так как считал, что основной метод математики - это и есть абстрагирование.
В 1960-е гг. структуру математических способностей исследовал отечественный психолог В.А. Крутецкий. Способности школьников к изучению математики он определил как «индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики» [2, с. 91].
В конце 1980-х гг. существовало уже 20 самостоятельных концепций проблемы структуры математических способностей, в которых было названо 30 их компонентов. В зависимости от количества повторений в концепциях компоненты математических способностей располагались в следующей последовательности: 1) сила абстрагирования, оперирование абстракциями; 2) пространственный фактор (геометрическая интуиция); 3) четкое логическое рассуждение; 4) гибкость, изобретательность мышления; 5) математическая интуиция; 6) вычислительный, цифровой фактор; 7) анализирование, синтез; 8) стремление к рациональности решений; 9) обобщение, нахождение сходного в разном [3].
Все рассмотренные исследования структуры математических способностей и особенностей их развития относятся к школьному возрасту. Однако развитие математических способностей необходимо вести не только в школе, следует продолжать данный процесс и в вузе. В педагогическом вузе, как показал анализ ФГОС высшего образования по педагогическому направлению [4], студент готовится сегодня к выполнению разных видов деятельности: педагогической, проектной, научно-исследовательской и др. Для успешного решения задач каждого вида будущему учителю математики необходимо владеть на том или ином уровне всеми компонентами математических способностей. Поэтому целью обучения математическим дисциплинам в педагогическом вузе являются, с одной стороны, фундаментальная математическая подготовка и развитие всех компонентов математических способностей студентов, с другой - приобретение обучающимися навыков развития математических способностей школьников в процессе организации их учебнопознавательной деятельности. Для достижения этой цели большое значение имеет соблюдение преемственности в развитии математических способностей в школе и вузе.
Цель нашего исследования - выделить основные направления преемственности в развитии математических способностей школьников и студентов математических профилей педагогического вуза и описать приемы реализации этих направлений на практике.
Материал и методы исследования. В качестве материала исследования использовалось содержание дисциплины «Математический анализ» и некоторых математических дисциплин по выбору, разработанных в МГПУ имени М.Е. Евсевьева. Проводился анализ психолого-педагогической и методической литературы, вузовских и школьных учебников по математическим дисциплинам, материалов ЕГЭ по математике, интернет-источников. В ходе исследования использовались методы: наблюдение, беседа, эксперимент; анализировался личный опыт преподавания математических дисциплин в педагогическом вузе и школе.
Результаты исследования и их обсуждение. В ходе исследования были выделены основные компоненты математических способностей, которым следует уделить особое внимание при обучении математике в школе и педагогическом вузе, а также определены направления развития этих компонентов у учащихся и студентов. Рассмотрим их подробнее.
1. Способность оперировать абстракциями. Высокий уровень абстракции изучаемого материала в вузе, как известно, задает математический анализ - фундаментальная математическая дисциплина, начала которой изучаются в школе. Основная работа преподавателя при изучении этой дисциплины должна быть направлена на раскрытие содержания таких абстрактных и сложных понятий математики, как «предел последовательности» и «функции», «производная», «первообразная», «интеграл» и др. На начальном этапе изучения этих понятий их определения, а также свойства, правила действий с ними должны формулироваться и записываться в тех же терминах и символах, которые представлены в школьном курсе математики. Это позволит студентам быстрее понять их сущность и связать изучаемое в вузе с тем, что усвоено в школе.
Для овладения математической символикой в курсе математического анализа следует после формулировки определения понятия записывать его символически. Например, определение предела последовательности, который равен числу а, можно записать так:
Студент должен уметь записать определение символически и правильно прочитать его.
Для оперирования абстракциями в разных ситуациях большое значение имеет обучение переводу информации с одного математического языка на другой. Например, студенты должны уметь дать геометрическую интерпретацию сформулированного определения или представить геометрически символическую запись (1). Если этого не достигается, то сущность понятия не усвоена, поэтому и оперирование им будет проходить формально, а студенту будет труднее справиться с более сложными содержательными задачами, относящимися к этому понятию. Последнее подтверждают результаты выполнения выпускниками заданий ЕГЭ, связанных с геометрическими представлениями производной и первообразной, которые свидетельствуют о недостаточной работе со школьниками по переводу информации с геометрического языка на естественный (и обратно) и раскрытию сущности изучаемых понятий.