Курсовая работа (т): Разрешимость одной краевой задачи

Используя неравенство Гельдера[10,c.54] и неравенство (4), выводим отсюда

.

Из (9), используя равенство (4) получим  

Из последнего неравенства и теоремы следует существование обратного оператора .

Обозначим:

, ,  .

Из (9) имеем : .

Используя неравенство Гельдера и неравенство (4), выводим отсюда

 при  

Пусть  - непрерывный оператор.

Лемма4. Пусть: выполнены условия 1), 2) лемме2; для п. в.  ; оператор  удовлетворяет условию Липшица с константой , причем . Тогда существует непрерывный оператор , удовлетворяющий условию Липшица с константой .

Доказательство. Имеем для любых , применяя лемму 2, получаем:

          (9)

Отсюда по теореме [14] получаем непрерывную обратимость оператора . Из (7) для непрерывного оператора  имеем: для любых :  

Лемма 5. Для любого  выполняется неравенство

.

Теперь мы можем получить условия, при которых все решения задачи (1),(2) удовлетворяют априорной оценке, и, одновременно, сама задача (1), (2) однозначно разрешима.

Лемма 6. Пусть выполнены условия:

Существуют такие константы  , что:

)        для любых , почти для всех  имеет место неравенство ;

)        для любых , почти для всех  имеет место неравенство .

)        выполнено неравенство ,

где  

Тогда краевая задача (1), (2) имеет решение , которое удовлетворяет оценке , и решение, удовлетворяющее такой оценке, единственно.

Доказательство. Обозначим .

Построим функции  следующим образом:

для всех  положим ;

 так: .

Обозначим , ,  и рассмотрим вспомогательное уравнение

                                       (10)

Из построения функции  ясно, что уравнение (10) на множестве  эквивалентно уравнению (5), множество  отображается оператором  в множество .

Т. к. ,  - измеримые множества, то для любых  имеем:

. Из построения оператора  получим

.

А также из построения оператора , условия 1) и теореме 6 получим

.

Т. к.  и ввиду леммы 4 из последних двух равенств получим

.                           (11)

 принадлежит пространству . Поэтому для однозначной разрешимости уравнения (10) достаточно показать обратимость оператора  и принадлежность решения  множеству .[4,c.128] Условия 1) и 2) теоремы 3 выполнены по построению функции . Ввиду (11) и того, что , оператор  удовлетворяет условию теоремы 5.

Итак, по лемме 4 оператор  непрерывен и

, или .

Отсюда ввиду условия 2) получим .

На этом доказательство закончено.

2.2 Исследование разрешимости краевой задачи

, ,                      (4)

, .

 при почти всех , и введем обозначение

Теорема 3.[14,c.7] Пусть существуют такие константы   что:

 почти всюду на  

Тогда задача (4) однозначно разрешима.

.3 Оценка нормы оператора

Для оценки  где

,

применим следующую лемму

Теорема 4:

где

Доказательство:

Оператор Грина для задачи (4) представляет собой произведение 2-х непрерывных функций.

Из доказательства леммы4 следует, что норма оператора Грина удовлетворяет неравенству

 [14,c.5]

2.4 Исследование отрицательности функции Грина

Определим оператор  равенством

                     (2.4.1)

Теорема 5. Пусть выполнены условия:

 почти всюду на , для любого выполнено неравенство

Тогда функция Грина краевой задачи (1.4)  на

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную задачу

 (2.4.2)

Краевая задача (4) эквивалентна уравнению

                                               (2.4.3)

в пространстве C, где оператор  определен равенством (2.4.1),  В силу условия  уравнение (2.4.1), а следовательно, и задача (1.4) однозначно разрешимы. Значит, решение задачи (4) имеет представление

При любом фиксированном  функция  является решением “импульсной” задачи

в пространстве функций , имеющих на  и  абсолютно непрерывную производную 1-го порядка. Эта задача эквивалентна уравнению

                                    (2.4.4)

в пространстве , где  - решение импульсной задачи

Таким образом, при фиксированном .    

Для доказательства неравенства  на  воспользуемся Теорема 6 об уравнении с антитонным оператором [5,с. 23]. Сформулируем Теорема6 применительно к оператору .

Теорема 6. Пусть  вполне непрерывный, антитонный оператор. Пусть, далее, , , . Тогда уравнение (2.4.4) имеет решение , удовлетворяющее неравенствам