Курсовая работа (т): Разрешимость одной краевой задачи

Разрешимость одной краевой задачи

Содержание

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения и конструкции

.1 Основные понятия и определения

.2 Банаховы функциональные пространства

.3 Функция Грина

.4 Задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям

Глава 2. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина

.1 Признак существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения

.2 Исследование разрешимости краевой задачи

.3 Оценка нормы оператора

.4 Исследование отрицательности функции Грина

.5 Исследование разрешимости двухточечной краевой задачи

Заключение

Список использованных источников

Введение

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построение теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов.

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. В настоящее время методы математического моделирования находят все более широкое применение в решение прикладных экономических задач.

Современные модели содержат в себе как настоящие, так и предыдущие состояния описываемого объекта. Основными методами исследования являются методы общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений, а также конструктивные методы исследования краевых задач. Для отображения функционирования модели ставится краевое условие.

Объектом исследования данной работы является однозначная разрешимость линейно функционально-дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом и отрицательность функции Грина.

Целью работы является исследование однозначной разрешимости линейно функционально - дифференциальное уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом с однородными краевыми условиями и исследование отрицательности функции Грина. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

) Введены необходимые понятия и утверждения теории функционального анализа

) Рассмотрена однозначная разрешимость нелинейной задачи

) Доказана однозначная разрешимость линейной задачи и отрицательность функции Грина

Структура работы. Работа условно разделена на 2 главы. В первой главе приводятся необходимые теоретические сведения из специальных разделов функционального анализа. Во второй главе рассматривается разрешимость нелинейного функционально-дифференциального уравнения и доказывается однозначная разрешимость линейной краевой задачи и отрицательность функции Грина.

Глава 1. Вспомогательные утверждения и конструкции

.1 Основные понятия и определения

. Множество X элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, если

а) для любых 2-х элементов  ставится в соответствие элемент , который называется суммой взятых элементов и обозначается

б) для любого элемента и ставится в соответствие элемент , который называется суммой взятых элементов и обозначается .

. пусть X линейное пространство. Конечный функционал называется нормой, если для любых 2-х элементов удовлетворяют аксиомы:

а)  

б)

в)

. Линейное пространство X, в котором определенна некоторая норма, называется нормированным пространством, норма обозначается .

. Если пространство X таково, что в нем каждая фундаментальная последовательность сходиться к элементу этого пространства, то оно называется банаховым или полным.

. пусть X -нормированное пространство. Множество называется относительно компактным, если произвольная последовательность этого множества содержит подпоследовательность, которая сходится к элементу пространства X.

. Множество  называется компакным, если оно относительно компактно и замкнуто.

. Оператор  называется ограниченным, если существует такая константа , такая что

. Ядро линейного оператора называется множество

. Образом оператора A называется множество  подпространство пространства Y.

. Совокупность  всех линейных непрерывных функционалов на банаховом пространстве X образует сопряженное к X линейное пространство.

. пусть X и Y - банаховы пространства, оператор  называется обратным к оператору , если  уравнение  однозначно разрешимо, и это решение представимо в виде

. Число  называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой собственный вектор ,

. Точка  называется регулярной, если оператор  непрерывно обратим. Совокупность регулярных точек называется резольвентным множеством, а оператор  резольвентой оператора A.

. Совокупность собственных значений оператора A называется спектром оператора A.

. Условие Каратеодори: функция  измерима при , и функция  непрерывна

1.2 Банаховы функциональные пространства

Пространство L₂[a,b].

Через L₂=L₂[a,b] обозначим совокупность всех классов интегрируемых функций по Лебегу с квадратом  с нормой  Это же пространство будет рассматривать как действительное гильбертово пространство со скалярным произведением, определяемым следующим образом:

Отметим, что норма, порождаемая этим скалярным произведением, совпадает с исходной нормой. [10]

Определение 1. Функция у(t) на [a,b] называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого  найдётся такое  что для любой конечной системы непересекающихся интервалов  из отрезка [a,b] таких, что  имеет место неравенство

Через D₂=D₂[a,b] обозначим пространство абсолютно непрерывных функций  таких, что  Пространство D₂[a,b] - является бахановым пространством относительно нормы  Пространство H=D₂[a,b] можно рассматривать как гильбертово пространство со скалярным произведением, определяемым следующим образом:

Порождаемая норма этим скалярным произведением:

Нормы и эквиваленты, т.е. существуют такие константы С₁>0, C₂>0, что выполняется  .

Обозначим через C[a,b] пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций  с нормой  

Обозначим через C¹[a,b] пространство непрерывно - дифференцируемых на отрезке [a,b] функций  с нормой .

Справедливо следующее включение

Через W2=W2[a,b] [5,c.12] обозначим пространство абсолютно непрерывных на отрезке [a,b] функций  таких, что  с нормой

Пространство H=W₂[a,b] можно рассматривать как гильбертово пространство со скалярным произведением, определяемым следующим образом:

Порождаемая норма этих скалярным произведением:

1.3 Функция Грина

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля.

Постановка: Найти те значения параметра , при которых уравнение

 (1)

имеет нетривиальное решение у (t)  CL₂ [a, b], удовлетворяющее краевым условиям

.      

Краевые условия содержат параметры α_i β_i которые можно зафиксировать различным образом. Вследствие этого оператор L в (2.4) должен маркироваться в зависимости от значений α₁, β₁, α₂, β₂, (например,  ); с изменением этих значений меняется область определения оператора, а следовательно, и сам оператор. Задача Штурма - Лиувилля в зависимости от значений указанных параметров имеет ту или иную физическую подоплеку, ту или иную специфику. Если β₁=β₂= 0, то соответствующие условия

(t₁)=0, y(t₂)=0

именуются краевыми условиями первого рода; условия

'(t₁)=0, y'(t₂)=0,

называются краевыми условиями второго рода. Общие условия (2), записанные в виде

у' (а) - у (а) = 0, у' (а) - у (а) = 0,

называются краевыми условиями третьего рода. Все написанные условия есть однородные условия, поскольку в правой части стоит нуль. В более общем случае справа вместо нуля может стоять произвольное число, и тогда говорят о неоднородном краевом условии.

Задачу Штурма - Лиувилля называют также задачей на собственные значения[2,c.326]. Краевые условия (2.6) именуют граничными или предельными условиями (и тогда говорят о граничной или соответственно о предельной задаче).

Элементарным решением уравнения

 (3)

с особенностью в точке  называется функция , определенная в квадрате

 ={(t, );  }

и обладающая свойствами:

1.      (t, ) непрерывна в Q.

. При фиксированном  она удовлетворяет уравнению (3) в промежутках [а, ), и (, b] (и, следовательно,  дважды непрерывно дифференцируема в этих промежутках).

. Первая производная функции  имеет разрыв первого
рода в точке  со «.скачком» -1/р(), т. е.

Функцию  будем называть функцией Грина оператора L[2,c.332].

.4 Задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям

Можно считать общеизвестным, что обыкновенные дифференциальные уравнения играют исключительно важную роль как математические модели многих реальных явлений и процессов. Для дифференциального уравнения

  (1)

часто возникает так называемая начальная задача, или задача Коши,

(Lx)(t) = f(t), x(0) = α,

где требуется найти функцию x(t), удовлетворяющую уравнению (6) и дополнительному начальному условию x(0) = α. Используя подстановку

 (2)

, для z(t) получаем уравнение