Курсовая работа (т): Разрешимость одной краевой задачи

которому можно придать вид

 (3)

где

Уравнение (3) называется линейным интегральным уравнением Фредгольма, а функция двух переменных K(t, s) - ядром этого уравнения. Для широкого круга прикладных задач возникает необходимость рассматривать краевую задачу [3, 4], представляющую собой систему

(Lx)(t) = f(t),  (4)

в которой второе уравнение принято называть краевым условием. В виде lx = α могут быть записаны самые разнообразные случаи краевых условий. В частности, при соответствующем выборе и ϕ в таком виде могут быть записаны: начальное условие

x(0) = α ( = 1, ϕ(s) ≡ 0);

периодическое условие

(T) = x(0) ( = 0, ϕ(s) ≡ 1, α = 0);

многоточечное условие

  i=1,2,…,m;

в этом случае

интегральное условие

 ( = T, ϕ(s) =T-s).

Можно свести задачу (4) к интегральному уравнению: по числу  и функции ϕ можно найти такую функцию u(t), что u(0)  0, lu = 1 и система уравнений

(t)+B(t)x(0)=z(t), lx= α

где B(t) = −u(t)/u(0), однозначно разрешима и ее решение имеет представление

 (5)

краевой задача грин функция

Здесь

Воспользуемся W-подстановкой (5) применительно к уравнению (1):

(t)+B(t)x(0)=-P(t)x(t)+B(t)x(0)+f(t).

Получаем уравнение

которое принимает вид (3), если положить K(t, s) = B(t)W(a, s) − P(t)W(t, s), g(t) = f(t) + B(t)u(0)α - P(t)u(t)α. Краевая задача (4) для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом

  (6)

 при

для интегродифференциального уравнения

  (7)

и многих других классов уравнений тоже сводятся к интегральному уравнению (3) с помощью W-подстановки (5)[6].

Глава 2. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина

Рассматриваем вопрос об условиях однозначной разрешимости функционально-дифференциальное уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом и с однородными краевыми условиями:

 (1)

 (2)

Линейный ограниченный оператор , .

Функцию p(t) можно представить в виде разности 2-х функций,

,

 (3)

Благодаря равенству (3) исходная краевая задача (1)-(2) запишем следующим образом:

Рассмотрим вспомогательную задачу

 (4)

Теорема 1:

Если выполнены следующие условия:

. Краевая задача (4) однозначно разрешима и функция Грина на

.  где

Тогда задача (1)-(2) однозначно разрешима и функция Грина отрицательна.

Доказательство:

Задача (1)-(2) эквивалента уравнению  (6), где

Нужно отметить, что уравнение (6) мы рассматриваем в пространстве , а решение задачи (1), (2) - элемент пространства  Тем не менее утверждение об эквивалентности верно, так как в силу свойств функции Грина значение оператора  на непрерывной функции является элементом из  

Уравнение (6) рассматриваем в пространстве непрерывных функций и , то получаем ряд Неймана[3,с.187].

Ряд Неймана сходится равномерно[3,c.189], его сумма представляет решение уравнения (6)

-доказали однозначную разрешимость.

Докажем, что функция Грина отрицательна:

- изотонный оператор

Предполагаем, что функция f(t) положительна, отрицательна из равенства (6), следовательно, функция z(t) отрицательная. Каждое слагаемое в ряде Неймана представляет отрицательно, из этого следует отрицательность решения уравнения (5):

 , предполагаем не отрицательность функции f(t), следовательно функция Грина отрицательна.

 Задача (1)-(2) однозначна разрешима и ее функция Грина отрицательна.

2.1 Признак существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения

Рассмотрим нелинейную краевую задачу:

 (1)

 (2)

Имеет место представление

                         (3)

Оператор  - линейный ограниченный симметрический; имеет спектр в интервале ;  - положителен, т. е. для любого  имеет место неравенство

.                                                        (4)

Введем следующие обозначения: ;

,

где  - измеримая функция, обладающая свойством “независания”:

Рассмотрим краевую задачу (1), (2) в предположениях:

 - измеримая функция;

 : измерима по  при каждом  и непрерывна по  при почти всех , и для любого  найдется такая суммируемая с квадратом на  функция , что если , то ; существуют такие числа , ,

, что для почти всех  и для всех  имеют место неравенства: ; ,

где .

Решением задачи (1), (2) будем называть функцию , для которой выполнены условия (1) и, равенство из (2) выполняется почти всюду на .

Рассмотрим уравнение

,                                                                  (5)

где оператор  определен равенством .

Лемма1.  является решением уравнения (5) тогда и только тогда, когда  является решением задачи (1),(2) .

Лемма1 позволяет свести вопрос о разрешимости задачи (1), (2) к изучению уравнения (5). Поэтому мы предварительно исследуем свойства оператора .

Пусть  - линейный ограниченный самосопряженный оператор,  - положительная константа.

Определение. Оператор  называется -монотонным[5,c.6], если для любых  имеет место неравенство .

Лемма2. Пусть существуют такие константы :

такие, что

1)      п.в.  

2)      п.в.

Тогда:

a)      оператор  являются (U,1- m,2)- монотонным ) существует непрерывный обратный оператор , удовлетворяющий уравнению , где  (6)

Доказательство.

а) Если , то доказываемое непосредственно следует из свойств оператора

Пусть . Обозначим. Тогда для любых  имеем

.

Ввиду условия 2) из последнего равенства следует

.

т.к , т.е

Лемма3:

Отсюда ввиду предположений на m получаем выполнение условия а)

.          (7)

 (8)

б) Из (8), используя неравенство (4), получаем для любых