Таким образом, можно полагать, что для нахождения центральной частоты первой «области непропускания» более чем (5) подходит следующая формула:
, (66)
где полагается .
Приведенные оценки выполнены для первой наиболее низкочастотной «полосы непропускания». Анализ последующих полос показывает, что их центральные частоты находятся в целочисленном кратном отношении к частоте первой полосы. Получаемое по формуле (66) значение первой из частот, однако является несколько заниженным, так что для повышения точности следует ввести поправочный коэффициент. С такой эмпирической поправкой формулы для расчета центральной частоты -й «полосы непропускания», приобретают вид:
при слабой неоднородности:
, (67)
при сильной неоднородности:
. (68)
При промежуточной неоднородности поправочный коэффициент будет иметь промежуточное значение.
15. Изменение соотношения проницаемостей слоев
Рассмотрим теперь трансформацию частотных зависимостей амплитуд при изменении соотношения проницаемостей слоев. С этой целью обратимся к рис.7, где показаны соответствующие зависимости для нормированной амплитуды волны обратного направления в слое №1 (), то есть амплитуды отраженной волны от структуры в целом. Частотные зависимости амплитуд волн прямого направления в слоях №15 и №16 ведут себя сходным образом, поэтому далее не рассматриваются.
Рис.7. Зависимости нормированной амплитуды обратно направленной волны в слое №1 от частоты при различных соотношениях проницаемостей слоев.
Числа в кругах около вертикальной оси слева - отношение проницаемостей барьера и промежутка . Остальные параметры слоев - те же.
При построении зависимостей каждая последующая кривая была смещена вверх по отношению к предыдущей на , то есть нулевой уровень каждой кривой, соответствующей заданному в кругу значению , приходится на Горизонтальные участки кривых, выделенные утолщенными линиями, соответствуют , то есть полному отражению падающей волны от структуры в целом. Наклонные кривые проведены через середины горизонтальных участков.
Из рисунка видно, что по мере увеличения соотношения проницаемостей центральные частоты «полос непропускания» снижаются, причем тем сильнее, чем номер полосы выше. То есть происходит как бы сгущение полос в направлении к нулю частоты. Однако при таком сгущении явного взаимного соотношения места, занимаемого отдельными полосами, не наблюдается, хотя некоторые полосы (№3, 4, 5 и в какой-то степени №2) испытывают сужение с последующим расширением. Так например, полоса №4 при имеет ширину около , которая при сужается до нуля, а при снова расширяется, составляя около . При этом расстояние между окружающими ее полосами №3 и №5 во всем интервале изменения монотонно уменьшается с до , не претерпевая никакого локального сужения в окрестности .
Таким образом, сгущение полос при увеличении происходит довольно равномерно по всем полосам во всем исследованном диапазоне частот.
Заключение
Рассмотрено распространение волн прямого и обратного направлений в многослойной структуре ограниченной длины с периодической неоднородностью меандрового типа, представляющей собой чередование двух видов слоев равной толщины с различающимися параметрами.
В качестве расчетного аппарата использован метод пошагового алгоритма, первоначально разработанный для одномерных волн. В данной задаче метод обобщен на случай трехмерных электромагнитных волн, показана возможность его реализации с использованием комплексных адмиттансов и волновых чисел сред, составляющих структуру. Приведена схема и аналитическая реализация метода пошагового алгоритма для случая сред с произвольными диэлектрической и магнитной проницаемостями, а также проводимостями.
Исследованы частотные зависимости амплитуд волн прямого и обратного направлений в крайних слоях структуры. Показано, что такие зависимости имеют квазирезонансный характер в виде большого центрального лепестка, с обеих сторон сопровождаемого меньшими лепестками-сателлитами. Предложена модель структуры как цепочки последовательно соединенных полуволновых резонаторов. Показано, что частота главного лепестка определяется в первую очередь диэлектрической проницаемостью барьера, но отклоняется от резонансной частоты полуволнового барьера вниз тем сильнее, чем больше различие диэлектрических проницаемостей барьера и промежутка.
Исследована трансформация частотных характеристик при изменении числа барьеров. Показано, что по мере увеличения числа барьеров количество лепестков увеличивается, причем между основными, определяемыми резонансными свойствами барьера, появляются промежуточные, связанные с интерференцией волн при распространении между барьерами. Получены аналитические формулы, позволяющие рассчитать частоты основных лепестков, положения их максимумов и минимумов между ними при заданном числе барьеров.
Исследовано распределение амплитуд волн во внутренних слоях структуры при большом различии параметров между барьерами и промежутками. Показано, что по зависимости амплитуд от координаты вдоль оси структуры преобладают два главных вида распределения - синусоидальное и экспоненциальное, по частоте поочередно переходящие друг в друга через посредство промежуточных распределений - полусинусоидального и линейного. Выявлено, что частотные интервалы существования главных распределений превышают таковые для промежуточных не менее чем в несколько раз, причем при увеличении различия параметров барьеров и промежутков такое превышение увеличивается. Показано, что как при вариации параметров, так и при изменении частоты переход основных распределений друг в друга через промежуточные всегда происходит плавно, однако частотные интервалы переходных распределений с увеличением различия параметров слоев сужаются.
Исследованы особенности частотных зависимостей амплитуды отраженной и проходящей волн в широком диапазоне частот при различных степенях неоднородности структуры. Введены определения сильной и слабой неоднородностей и получен критерий перехода между ними, определяемый величиной различия диэлектрических проницаемостей барьера и промежутка. Показано, что как при слабой, так и особенно при сильной неоднородностях частотные зависимости амплитуды представляют собой чередование ярко выраженных «полос пропускания» и «непропускания», подобных имеющим место в периодической структуре бесконечной протяженности, в аналитическом виде получаемых классическими методами.
Выявлено не отмеченное классикой нарушение правильной периодичности наблюдаемых зависимостей, состоящее в изменении частотной ширины полос вплоть до полного их исчезновения или слияния с соседними. В качестве возможной причины такого нарушения предложен ограниченный характер полного числа слоев структуры по сравнению с классическим случаем, где такое ограничение отсутствует. Для расчета центральных частот полос непропускания предложена эмпирическая формула, включающая в себя усредненное значение проницаемостей слоев в сочетании с близким к единице поправочным коэффициентом, увеличивающимся по мере увеличения степени неоднородности.
Рассмотрена трансформация частотных зависимостей в широком интервале изменения соотношения проницаемостей слоев. Показано что при увеличении этого соотношения частоты середин полос того и другого вида снижаются, а их ширина также уменьшается, то есть полный спектр полос как бы поджимается к своему низкочастотному концу, причем это стремление выражено тем сильнее, чем частота полосы выше.
Литература
1. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: ИЛ. 1959.
2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука. 1973.
3. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука. 1989.
4. Elachi C. // Proc. of the IEEE. 1976. V.64. №12. P.1666.
5. Анненков А.Ю., Виноградов А.П., Герус С.В., Рыжиков И.А., Шишков С.А., Иноуе М. // Известия РАН. Серия физическая. 2007. Т.71. №11. С.1612.
6. Бутько Л.Н., Бучельников В.Д., Бычков И.В., Шавров В.Г. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2007. №3. URL:
http://jre.cplire.ru/jre/mar07/3/text.html
7. Pendry J.B. // Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. P.3966.
8. Smith D.R., Padilla W.J., Vier D.C., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. №18. P.4184.
9. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: УРСС. 2001.
10. Lindell I.V., Tretyakov S.A., Nikoskinen K.I., Ilvonen S. // Micr. Opt. Tech. Lett. 2001. V.31. №2. P.129.
11. Parimi P.V., Lu W.T., Vodo P., Sokoloff J., Derov J.S., Sridhar S. // Phys.Rev.Lett. 2004. V.92. №12. P.127401(4).
12. Агранович В.М., Гартштейн Ю.Н. // УФН. 2006. Т.176. №10. С.1052.
13. Веселаго В.Г. // УФН. 2011. Т.181. №11. С.1201.
14. Вендик И.Б., Вендик О.Г. // ЖТФ. 2013. Т.83. №1. С.3.
15. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Животовский Л.В., Климов А.А., Тайад Ф., Пресманес Л., Бонин К., Цай Ч.С., Высоцкий С.Л., Филимонов Ю.А. // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т.77. №10. С.670.
16. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Волков А.И. // РЭ. 2007. Т.50. №9. С.1107.
17. Кирюхин Н.Н., Лисовский Ф.В. // ФТТ. 1968. Т.10. №3. С.709.
18. Зубков В.И., Моносов Я.А., Щеглов В.И. // Письма в ЖЭТФ. 1971. Т.13. №5. С.229.
19. Медников А.М., Никитов С.А., Попков А.Ф. // ФТТ. 1982. Т.24. №10. С.3008.
20. Зубков В.И., Щеглов В.И. // РЭ. 2011. Т.56. №7. С.839.
21. Вороненко А.В., Герус С.В. // Письма в ЖТФ. 1984. Т.10. №12. С.746.
22. Вороненко А.В., Герус С.В., Харитонов В.Д. // Изв. ВУЗов. Физика. 1988. Т.31. №11. С.76.
23. Анненков А.Ю., Герус С.В., Сотников И.В. // РЭ. 1992. Т.37. №8. С.1371.
24. Анненков А.Ю., Герус С.В. // РЭ. 1996. Т.41. №2. С.216.
25. Герус С.В. Магнитостатические волны в пространственно-периодических и двумерно-неоднородных магнитных полях. Диссертация на соискание ученой степени д.ф.-м.н. Москва. 2012.
26. Вороненко А.В., Герус С.В., Красножен Л.А. // Микроэлектроника. 1989. Т.18. №1. С.61.
27. Григорьева Н.Ю. Дипольно-обменные спиновые волны в периодических структурах на основе тонких ферромагнитных пленок. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Санкт-Петербург. 2009.
28. Григорьева Н.Ю., Калиникос Б.А. // ЖТФ. 2009. Т.79. №8. С.110.
29. Дроздовский А.В. Исследование сверхвысокочастотных свойств магнонных кристаллов на основе ферромагнитных пленок. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Санкт-Петербург. 2011.
30. Антонец И.В., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №1. URL: http://jre.cplire.ru/jre/jan15/1/text.html
31. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2012. Т.57. №1. С.67.
32. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2013. Т.58. №1. С.16.
33. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №1. URL:
http://jre.cplire.ru/jre/jan13/11/text.pdf
34. Антонец И.В., Щеглов В.И. Алгоритмы определения амплитуд отраженных и проходящих волн при распространении встречных волн в многослойных неоднородных структурах. Часть первая. Укороченный алгоритм. Учебное пособие (электронное). Сыктывкар: ИПО ФГБОУ ВПО СыктГУ. 2013.
35. Антонец И.В., Щеглов В.И. Алгоритмы определения амплитуд отраженных и проходящих волн при распространении встречных волн в многослойных неоднородных структурах. Часть вторая. Полный алгоритм. Учебное пособие (электронное). Сыктывкар: ИПО ФГБОУ ВПО СыктГУ. 2013.
36. Антонец И.В., Щеглов В.И. Распространение волн через многослойные структуры (монография). Часть пятая. Алгоритмические методы. Сыктывкар: ИПО СыктГУ. 2014.
37. Антонец И.В., Щеглов В.И. Распространение волн через тонкие слои и пленки. Сыктывкар: ИПО СыктГУ. 2010.
38. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2010. Т.55. №2. С.133.
39. Антонец И.В., Щеглов В.И. Распространение волн через многослойные структуры. Часть первая. Прямой метод. Сыктывкар: ИПО СыктГУ. 2011.
40. Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука. 1964.
41. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.3. Электричество. М.: Наука. 1977.
42. Никольский В.В, Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука. 1989.
43. Левич В.Г. Курс теоретической физики. Т.1. М.: Наука. 1969.
44. Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Высшая школа. 1974.
45. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1973.
46. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит. 1994.
47. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2007. Т.52. №4. С.403.
48. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2008. Т.53. №4. С.389.
49. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука. 1976.
50. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. 1970.
51. Антонец И.В., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2009. Т.54. №10. С.1171.
52. Уиттекер Э.Т., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа. Ч.2.М.: ИЛ. 1963.
53. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. М.: ИЛ. 1953.