Пространственное распределение амплитуд внешних и внутренних волн в ограниченной многослойной структуре с периодической неоднородностью. Электромагнитная волна
И.В. Антонец, В.Г. Шавров, В. И. Щеглов
Аннотация
Методом пошагового алгоритма рассмотрено распространение электромагнитных волн прямого и обратного направлений в многослойной структуре ограниченной длины с периодической неоднородностью меандрового типа. Исследованы частотные зависимости амплитуд волн прямого и обратного направлений, а также трансформация частотных характеристик при изменении числа барьеров. Исследовано распределение амплитуд волн во внутренних слоях структуры, выявлены два главных вида распределения - синусоидальное и экспоненциальное. Для широкого диапазона частот введены определения сильной и слабой неоднородностей и получен критерий перехода между ними. Рассмотрена трансформация частотных зависимостей в широком интервале изменения соотношения проницаемостей слоев. Выявлено поджатие частотного спектра к своему нижнему концу при увеличении этого соотношения.
Ключевые слова: распространение волн, многослойная структура, периодическая неоднородность, частотный спектр.
Abstract
By successive steps algorithm method the electromagnetic waves of forward and backward directions propagation in multi-layer limited length structure with periodical nonuniformity of meander type is investigated. The frequency dependencies of forward and backward direction wave amplitudes and the transformation of frequency characteristics by barrier quantity variation are investigated. The amplitude wave distribution in inner layers of structure is investigated. It is found two main distributions: sinusoidal and exponential. For large frequency range it is introduced the definitions of strong and weak nonuniformities and the criterion of transition between its is found. The frequency dependencies transformation in large variation interval alignment of layer permittivity is investigated. It is found the compression of frequency spectrum to its lower limit when this alignment is increased.
Key words: wave propagation, multi-layer structure, periodical nonuniformity, frequency spectrum.
Введение
Интерес к распространению электромагнитных волн в периодических структурах имеет давнюю историю. Вслед за первыми работами в этой области, в значительной степени обобщенными в фундаментальных монографиях [1,2], последовало значительно количество работ, развивающих основные положения на различные виды волноведущих сред [3-6].
После открытия возможности создания композиционных сред из дискретных элементов [7,8], весьма перспективными для практических приложений стали считаться среды типа «фотонных кристаллов», позволяющие поддерживать не только прямые, но и обратные волны [9-14].
Другим параллельным направлением явилось исследование магнитных сред с периодически меняющимися свойствами, являющихся, по установившейся терминологии, «магнонными кристаллами» [15,16]. В первых подобных работах магнитная неоднородность создавалась за счет возбуждения в среде упругих волн, периодическим образом меняющих свойства среды за счет магнитострикции [17-19]. Важнейший цикл работ был посвящен исследованию магнитостатических волн в условиях периодического поля, создаваемого цепочкой внешних магнитов [20] или соответствующим образом намагниченной высококоэрцитивной магнитофонной лентой [21-25]. На основе таких структур была показана возможность не только создания эффективных фильтрующих устройств СВЧ диапазона [21-25], но и высокоточного измерения параметров магнитной анизотропии и намагниченности ферритовых пленок [26]. Наряду с изменением пространственно периодического магнитного поля, развивались работы по созданию «магнонных кристаллов» с помощью периодического изменения параметров самой магнитной среды, в том числе таких как толщина и намагниченность [27-29].
В большинстве перечисленных работ теоретическая трактовка наблюдаемых явлений базировалась, в первую очередь на моделях, основанных на применении теоремы Блоха, аппарата Хилла, Матье, Флоке и Кронига-Пенни, подробный обзор которых можно найти, например, в монографии [1]. Как уже отмечалось в первой части настоящей работы [30], общим недостатком таких теоретических моделей является невозможность исследования распределения возбуждений в отдельных слоях структуры. Для преодоления такого недостатка в [30], использован метод пошагового алгоритма [31-36], с помощью которого на примере одномерной волны рассмотрено распространение волн прямого и обратного направлений в структуре ограниченной длины с периодической неоднородностью типа симметричного меандра. Исследованы амплитуды волн прямого и обратного направлений при изменении координаты, номера слоя структуры и среднего волнового числа, выявлен эффект «вторичной модуляции». Рассмотрено распределение амплитуд при значительном соотношении между волновыми числами сред, составляющих структуру. Обнаружена пространственная модуляция амплитуды, представленная пятью основными режимами. Для объяснения особенностей наблюдаемых явлений предложена аналогия с цепочкой последовательно соединенных резонаторов.
Настоящая вторая часть работы посвящена обобщению полученных результатов на случай электромагнитных волн.
1. Геометрия задачи
Геометрия задачи, полностью совпадающая с приведенной в первой части настоящей работы [30], показана на рис.1. Рассматривается симметричная меандровая структура, то есть такая, в которой неоднородность представляет собой периодически расположенные одинаковые прямоугольные барьеры, с одинаковыми промежутками между ними.
Рис.1. Общая схема ограниченной многослойной структуры с периодической неоднородностью симметричного меандрового вида.
Цифры в кругах - номера слоев (сред).
Структура содержит два вида сред, обозначаемых далее индексами «» и «», каждый из которых имеет собственные значения диэлектрических , и магнитных , проницаемостей, а также проводимостей , . Отложенные по вертикальной оси обозначения соответствуют адмиттансам сред и поясняются далее. Остальные обозначения подобны приведенными в [30] и ясны из рисунка (некоторые буквы по сравнению с [30] изменены, что сделано для удобства дальнейшего изложения).
2. Обобщение на случай электромагнитных волн
В работе [30] рассмотрение проведено на основе волнового числа, которое для одномерной волны является определяющим параметром. Для электромагнитной волны с прикладной стороны более важным параметром является частота, поэтому проведем дальнейшее рассмотрение опираясь именно на частоту падающей волны. Для перехода от одномерной волны к электромагнитной воспользуемся правилами эквивалентности, приведенными в работах [37-39].
В настоящем рассмотрении для простоты ограничимся случаем нормального падения волны, не требующим учета сложных угловых соотношений. Будем полагать, что все среды однородны и изотропны, то есть диэлектрическая и магнитная проницаемости, а также проводимость везде являются постоянными скалярными величинами.
Согласно [37-39], при этом достаточно во всех выражениях, полученных для одномерной волны, кроме показателей экспонент, заменить волновые числа величинами, обратными соответствующим импедансам:
, (1)
где:
, (2)
причем и - магнитная и диэлектрическая проницаемости -го слоя, и - магнитная и электрическая постоянные системы СИ.
Как можно видеть из работы [30], при методе пошагового алгоритма все выражения получаются в виде линейных комбинаций из волновых чисел. При замене (1) такие выражения будут содержать суммы дробей с различающимися знаменателями, поэтому, чтобы избежать необходимости их суммирования, удобно импедансы слоев заменить на обратные им величины - адмиттансы:
. (3)
В этом случае замена (1) существенно упрощается и принимает вид:
. (4)
При этом волновые числа в показателях экспонент остаются прежними:
, (5)
где - частота, задаваемая падающей волной в первом или последнем слое.
В случае электромагнитных волн вместо одномерных амплитуд и присутствуют амплитуды электрического и магнитного полей и . Однако, как следует из классики [40,41], а также для рассматриваемой геометрии подробно показано в [37-39], магнитное поле волны в каждом слое может быть представлено как производная по времени от электрического поля в том же слое, поэтому достаточно рассмотреть только амплитуды какого-то одного поля, например электрического.
Чтобы различать волны прямого и обратного направлений, будем электрические поля таких волн снабжать индексами: для прямого направления - индексом «», для обратного - «», после которых будем приводить номер слоя.
Как и в работе [30], будем полагать, что отражение волн при координатах и отсутствует, причем в среде №1 распространяется в положительном направлении волна с амплитудой , а в середе №16 - в отрицательном направлении волна с амплитудой , обе из которых по отношению к структуре в целом являются падающими.
Для упрощения записи экспонент при введем обозначения:
, (6)
а также:
, (7)
где - начальная фаза, которую без особенного ограничения общности можно положить равной нулю.
3. Случай проводящей среды
Если среда обладает проводящими свойствами, то в этом случае для нее наряду с основными параметрами, такими как диэлектрическая и магнитная проницаемости и , важнейшее значение приобретает проводимость .
Рассмотрим, как выражаются приведенные замены (4)-(5) через эти параметры. Для простоты дальнейшей записи соответствующий номеру среды индекс «» будем опускать.
При записи уравнений электродинамики для проводящей среды ее проводимость удобно включить в диэлектрическую проницаемость в виде мнимой добавки [42-44]:
электромагнитный волна меандровый
, (8)
где - действительная часть волнового числа.
При этом полное волновое число, становясь комплексным, приобретает вид:
. (9)
Преобразуя эту формулу по правилам извлечения квадратного корня из комплексного числа [45], получаем:
, (10)
где:
; (11)
. (12)
Именно в таком виде волновое число будет входить в показатель экспоненты.
Рассмотрим теперь, как преобразуется адмиттанс в среде с проводимостью, для чего подставим (8) в (3).
В результате получаем:
, (13)
где:
; (14)
. (15)
В таком виде адмиттансы будут входить в линейные суммы выражений, получающихся в ходе реализации пошагового алгоритма.
Из приведенных формул можно видеть, что действительные и мнимые части волнового числа и адмиттанса связаны соотношениями:
. (16)
4. Особенности геометрии задачи для случая электромагнитных волн
Следуя общим правилам, сформулированным в предыдущем разделе, внесем некоторую коррекцию в геометрию данной задачи по сравнению со случаем одномерной волны. В одномерном случае полагалось, что структура содержит два вида сред с волновыми числами и , причем:
. (17)
Переходя на адмиттансы в соответствии с (4), получаем:
. (18)
Аналогично [30] можно ввести среднее значение адмиттанса:
, (19)
а также добавки к нему , такую, что:
; (20)
. (21)
Замечание. В соответствии с (5), из (17) получаем:
. (22)
С другой стороны, из (18), в соответствии с (3), получаем:
. (23)
При , что имеет место в большинстве немагнитных сред, особенно в оптическом диапазоне, соотношения (22) и (23) совпадают друг с другом, однако при произвольных значениях и они могут различаться, в результате чего соотношение (23) может быть обратным, то есть и на рис.1 надо поменять местами. Такое обстоятельство необходимо учитывать в случае магнитных сред, особенно на частотах, соответствующих ферромагнитному резонансу в одной из групп слоев, где магнитная проницаемость может возрасти на несколько порядков [46]. Данный случай выходит за рамки настоящей работы и требует более подробного рассмотрения. Здесь же ограничимся случаем (22) и будем далее с позиций многобарьерной структуры [30] рассматривать как величину адмиттанса, соответствующую промежуткам между барьерами, а за величину адмиттанса, соответствующую барьерам, примем .
5. Схема расчета методом пошагового алгоритма
Для расчета амплитуд в слоях многослойной структуры, как и в случае одномерной задачи [30], будем пользоваться методом пошагового алгоритма [31-36], позволяющим получить значения амплитуд во всех слоях. Приведем сначала общую схему метода, после чего дадим ее аналитическую реализацию.
6. Общая схема пошагового алгоритма
Общая схема пошагового алгоритма аналогична таковой для одномерной волны [30]. Алгоритм содержит два этапа, состоящих в последовательном прохождении по слоям структуры от одного конца структуры к другому и обратно.
На первом этапе сначала с помощью простых правил задаются вспомогательные величины, определяемые параметрами первого слоя. Из них на основе параметров первого и второго слоев формируются новые величины, принадлежащие второму слою. Затем таким же образом из величин второго слоя формируются величины третьего слоя и так далее до тех пор, пока все слои структуры не будут исчерпаны. Формирование последующих величин из предыдущих производится путем увеличения порядковых индексов всех предыдущих величин на единицу. Второй этап начинается с формирования вспомогательных величин, определяемых параметрами последнего слоя структуры. Далее из этих величин с использованием параметров последнего и предпоследнего слоев формируются подобные величины для предпоследнего слоя и так далее. Процедура формирования последующих величин из предыдущих состоит в уменьшении порядковых индексов всех предыдущих величин на единицу.
Из всех величин, получаемых на обоих этапах, с помощью простых правил суммирования формируются детерминанты, определяющие амплитуды волн внутри слоев.
7. Аналитическая реализация алгоритма
Аналитическая реализация пошагового алгоритма для электромагнитной волны подобна таковой для одномерной волны с учетом замен, приведенных в предыдущих разделах. Изложим далее ее в последовательном виде.
Этап №1.
Вводим вспомогательное обозначение:
, (24)
а также полагаем начальную тройку основных обозначений:
; (25)
; (26)
. (27)
С использованием (25)-(27) формируем новую тройку выражений:
; (28)
; (29)
. (30)
Далее, увеличивая порядковые номера индексов на единицу, получаем следующую тройку подобных выражений и так далее, вплоть до , , . Общие формулы для получения последующих выражений из предыдущих при произвольном номере имеют вид:
, (31)
, (32)
. (33)
Процесс заканчивается при достижении значения . При этом получаем: