; (34)
; (35)
. (36)
Этап №2.
Введем другое вспомогательное обозначение:
, (37)
а также положим другую начальную тройку основных обозначений, индексы которых зададим равными полному количеству слоев:
; (38)
; (39)
. (40)
С использованием (38)-(40) формируем тройку выражений:
; (41)
; (42)
. (43)
Далее, уменьшая порядковые номера индексов на единицу, получаем следующую тройку подобных выражений и так далее, вплоть до , , . Общие формулы для получения последующих выражений из предыдущих при произвольном номере имеют вид:
; (44)
; (45)
. (46)
Процесс заканчивается при достижении значения . При этом получаем:
; (47)
; (48)
. (49)
Формирование детерминантов.
Из полученных выражений формируем детерминанты следующим образом:
; (50)
; (51)
; (52)
; (53)
..................................................
; (54)
; (55)
..................................................
; (56)
. (57)
Здесь индексы детерминантов соответствуют номерам слоев, а выражения (50) и (57), определяющие , имея различный вид записи, тождественно равны.
Найденные детерминанты (50)-(57) позволяют определить амплитуды всех волн через и с помощью формул, задающих амплитуды волн в точках их исхода:
; . (58)
При этом амплитуда волны, выходящей из структуры в положительном направлении оси , в точке равна:
; (59)
а амплитуда волны, выходящей в отрицательном направлении оси , в точке равна:
. (60)
Описанный здесь метод будет далее применен для численного расчета амплитуд волн прямого и обратного направлений в структуре, схема которой показана на рис.1. Перейдем к описанию результатов расчетов.
8. Амплитуды волн в крайних слоях структуры
Рассмотрим сначала амплитуды волн в крайних слоях структуры при изменении частоты. Структура содержит 16 слоев, из которых 7 являются барьерами с диэлектрической проницаемостью выше, чем у промежутков. Барьерами являются слои с четными номерами от №2 до №14, промежутками - с нечетными от №1 до №15, последний слой №16 имеет те же параметры, что и №15, то есть параметры промежутка. Это сделано для того, чтобы параметры обеих внешних сред были одинаковыми. Полная длина структуры , толщина одного слоя . На структуру падает одна волна прямого направления с амплитудой (при этом ). На настоящем этапе рассматривается интервал изменения частоты падающей волны от до .
На рис.2 показаны зависимости нормированных амплитуд волн обратного (а, б, в) и прямого (г, д, е) направлений в крайних слоях структуры от частоты падающей волны. По горизонтальным рядам рисунка увеличивается диэлектрическая проницаемость барьера: в первом ряду (а, г) она равна , что мало отличается от проницаемости промежутка , во втором ряду (б, д) - , что отличается несколько больше, в третьем ряду (в, е) - , что превышает проницаемость промежутка в три раза.
Рис.2. Зависимости нормированных амплитуд волн в крайних слоях структуры от частоты падающей волны. а, б, в - волна обратного направления в слое №1. г, д, е - волна прямого направления в слое №16.
Параметры материала сред:; ; ;
а, г - ; б, д - ; в, е - .
Из рисунка видно, что с увеличением различия между диэлектрическими проницаемостями барьера и промежутка амплитуды волн обоих направлений возрастают, причем это возрастание для волн обратного направления (а, б, в) выражено сильнее, чем для волн прямого (г, д, е). Зависимости для амплитуд волн прямого направления (г, д, е) симметричны относительно горизонтальной оси зависимостям для амплитуд волн обратного направления (а, б, в) с тем отличием, что для них амплитуда несколько меньше, причем это различие с увеличением проницаемости уменьшается. Так при различие составляет около пяти раз, при - около двух раз, при амплитуда волн прямого направления уже приближается к амплитуде волн обратного направления и составляет от нее около .
Общий вид тех и других зависимостей представляет собой большой центральный лепесток, по обе стороны от которого располагаются лепестки-сателлиты, амплитуда которых по мере удаления от центрального лепестка спадает. Ширина сателлитов меньше ширины центрального лепестка тем более, чем различие проницаемостей выше. Так при сателлиты уже центрального лепестка примерно в два раза, тогда как при различие ширины достигает уже пяти раз.
Как и в работе [30], многолепестковый характер обеих зависимостей обусловлен интерференционными явлениями при многократном переотражении волн обоих направлений. Заметим, что, по сравнению с работой [30, рис.2], многолепестковый характер амплитуды здесь выражен сильнее, чем для рассмотренной там одномерной волны, что, по-видимому, обусловлено тем что там менялось только одно волновое число барьера , тогда как волновое число промежутка оставалось неизменным, здесь же при изменении частоты меняются оба волновых числа и , в соответствии с формулой (5).
Совокупность расположенных друг за другом барьеров представляет собой цепочку одинаковых последовательно соединенных через промежутки полуволновых резонаторов. Для каждого из таких резонаторов собственная длина волны связана с длиной барьера соотношением:
, (61)
то есть резонансная частота имеет вид:
, (62)
где - скорость электромагнитной волны в свободном пространстве ().
Подставляя в эту формулу получаем частоту , подставляя , получаем , подставляя , получаем . На соответствующих эпюрах эти значения частот показаны стрелками на горизонтальной оси и вертикальными точечными линиями.
Видно, что расчетные значения частот всегда лежат несколько ниже положения максимумов главного лепестка, причем это рассогласование с увеличением возрастает. Так для оно не превышает от частоты максимума, для составляет около , а для достигает . В этом последнем случае расчетное значение частоты приходится как раз на низший по частоте край главного лепестка.
Дополнительное исследование показывает, что если теперь зафиксировать значение диэлектрической проницаемости барьера на достаточно высоком уровне и повышать значение диэлектрической проницаемости промежутка , приближая ее к проницаемости барьера, то центральная частота главного лепестка понижается, стремясь к резонансной частоте барьера. Так при и максимум главного лепестка приходится на , что уже весьма близко к резонансной частоте для барьера, равной . Амплитуда максимума при этом также резко снижается, для отражения составляя , а для прохождения - около
Таким образом, частота главного лепестка, хотя и определяется в первую очередь диэлектрической проницаемостью барьера, но отклоняется от резонансной частоты барьера вниз тем сильнее, чем больше различие диэлектрических проницаемостей барьера и промежутка.
9. Изменение числа барьеров
Согласно принятой постановке задачи, структура содержит конечное число одинаковых барьеров, разделенных одинаковыми промежутками, геометрическая длина которых равна геометрической длине барьеров. Рассмотрим сначала, как меняются частотные свойства структуры в зависимости от полного числа составляющих структуру барьеров. Будем полагать, что различие параметров барьеров и промежутков недостаточно для приближения коэффициентов отражения и прохождения структуры в целом к единице (то есть тот или другой коэффициент составляет не более ).
Рис.3. Зависимость нормированной амплитуды волны обратного направления в слое №1 от частоты при различном количестве барьеров: а - 1; б - 2; в - 3; г - 4; д - 7. Шаг по частоте - . Параметры материала сред:
; ; ; .
Частотные свойства такой структуры иллюстрируются рис.3, где показаны зависимости нормированной амплитуды волны обратного направления в слое №1 от частоты при различном количестве барьеров. Волна падает на структуру только из слоя №1, то есть отлично от нуля, тогда как .
Наблюдаемая ситуация соответствует частотной зависимости коэффициента отражения (по амплитуде). Поскольку , то затухание волны отсутствует, то есть коэффициент поглощения равен нулю, а частотная зависимость коэффициент прохождения аналогична таковой для коэффициента отражения с точностью до обратного знака по амплитуде (подобно описанному в работе [37-39,47,48]), поэтому на данном этапе не рассматривается.
10. Минимальные значения амплитуды
Из рисунка видно, что частотные зависимости имеют вид многолепесткового повторения кривых, похожих на положительный полупериод синусоиды, причем по мере увеличения числа барьеров количество лепестков увеличивается.
При единственном барьере (рис.3а) зависимость имеет вид периодически повторяющейся четкой половины синусоиды. При заданных параметрах материала барьера длина волны в его пределах равна . Учитывая, что длина барьера равна , можно видеть, что в этом случае на длине барьера укладывается как раз половина длины волны. Таким образом, минимум отражения здесь соответствует хорошо известному в оптике свойству полуволновой пластинки, вытекающего из потери полуволны при отражении от менее плотной среды [49,50]. Частотные положения следующих друг за другом минимумов отражения определяются формулой:
, (63)
где - порядковый номер минимума, показывающий, сколько полуволн укладывается по длине барьера, - скорость электромагнитной волны в свободном пространстве ().
При , и первый минимум соответствует частоте , второй - , третий - и так далее. Положения первых двух минимумов отмечены на рисунке стрелками, подходящими снизу к горизонтальной оси.
При увеличении числа барьеров (рис.3б-3д) положения по частоте этих основных минимумов сохраняются (отмечены стрелками), однако появляются новые дополнительные минимумы, частоты которых уже в простые соотношения не укладываются и требуют более подробного рассмотрения условий интерференции. Не вдаваясь в такое рассмотрение, отметим здесь лишь наиболее явные особенности наблюдаемой картины.
Так при двух барьерах (рис.3б) кроме основных появляются минимумы при (в ГГц): , , , , то есть ниже первого основного () - два дополнительных ( и ), между первым и вторым основными ( и ) - один дополнительный () и выше в пределах шкалы рисунка еще один дополнительный (). При трех барьерах (рис.3в) ниже первого основного появляются четыре дополнительных, между основными - три и выше еще один. При четырех (рис.3г) ниже первого - пять, между основными - пять. При семи барьерах (рис.3д) ниже первого - десять, между основными - девять.
Таким образом, при увеличении числа барьеров количество минимумов всегда возрастает, как ниже первого минимума, так и между двумя основными. При этом при увеличении числа барьеров от двух до четырех количество минимумов между основными подчиняется соотношению:
, (64)
где - число барьеров. Однако это соотношение нельзя считать безупречным. Так, можно было бы ожидать, что при количество минимумов между основными должно равняться одиннадцати, однако из рис.3д видно, что в этом интервале минимумов всего девять. Более точная проверка с шагом по частоте в () показала, что на рисунке минимумы при и не разрешены из-за их чрезвычайной близости. Однако между основными было обнаружено не одиннадцать, а всего десять минимумов, то есть опять-таки на единицу меньше приведенного соотношения. Возможной причиной нарушения соотношения (64) при увеличении числа барьеров может явиться возрастание сложности интерференционной картины при многочисленных переотражениях волн внутри структуры.
11. Максимальные значения амплитуды
Обратимся теперь к рассмотрению главных максимумов приведенных зависимостей, имеющих наибольшую амплитуду.
При единственном барьере (рис.3а) зависимость амплитуды от частоты в рассматриваемом интервале частот имеет два максимума - при частотах и , которые соответствуют укладыванию по длине барьера нечетного числа четвертей длины волны. Частотные положения следующих друг за другом максимумов отражения определяются формулой:
, (65)
где - порядковый номер максимума, при котором на длине барьера укладывается четвертей длин волн, - скорость электромагнитной волны в свободном пространстве (). Таким образом, максимум отражения здесь также соответствует известному в оптике свойству четвертьволновой пластинки [49,50]. При большем числе барьеров картина максимумов, как и минимумов, также не поддается столь простому расчету, поэтому отметим лишь ее основные особенности.
При увеличении числа барьеров положения по частоте наблюдаемых на рис.3а максимумов смещаются несколько вверх, при двух барьерах (рис.3б) принимая значения и , а при семи барьерах (рис.3д) - и соответственно. Однако, начиная с двух барьеров (рис.3б), между ними появляется еще один дополнительный максимум при , который при увеличении числа барьеров смещается не вверх, а вниз, выходя при семи барьерах (рис.3д) на частоту .
При такой трансформации соответствующие максимумам лепестки значительно сужаются. Так по расстоянию между двумя ближайшими минимумами ширина обоих лепестков при одном барьере составляет . При двух барьерах ширина основных лепестков составляет: нижнего по частоте - , верхнего - , а ширина лепестка между ними - . При семи барьерах эти же величины уменьшаются до , и соответственно.
Амплитуды всех максимумов при увеличении числа барьеров возрастают. Так при одном барьере амплитуды обоих основных максимумов равны , при двух барьерах амплитуда низшего по частоте максимума составляет , а высшего - Амплитуда находящегося между ними дополнительного максимума равняется При семи барьерах эти же величины соответственно равны , и То есть дополнительный максимум сужается быстрее, но по амплитуде растет несколько медленнее основных.
12. Распределение амплитуд в слоях при большой вариации параметров
Рассмотрим распределение амплитуд в слоях при большом изменении параметров материала от слоя к слою. Ограничимся рассмотрением волн прямого направления, так как характер распределения волн обратного направления аналогичен подобно таковому в работе [30].