Замечание. В работе [30] приведенные далее зависимости амплитуд волн в слоях от координаты по длине структуры, полученные для одномерной волны, названы «режимами». Однако, как показано там же, резких границ между такими «режимами» нет, причем принципиально отличаются друг от друга только два: №1 и №4 - синусоидальный и экспоненциальный. Поэтому в настоящей работе мы предпочли отказаться от наименования «режимы» и заменить их на наш взгляд более естественным названием «распределения», которое и будет использоваться далее.
На рис.4 показаны распределения нормированных амплитуд волн прямого направления в слоях от координаты при различных частотах падающей волны. Эпюры расставлены по частоте и сгруппированы по столбцам в соответствии с характерными частотными областями распределений. Утолщенные горизонтальные линии - амплитуды волн прямого направления в соответствующих слоях. Укрупненные точки соответствуют серединам перепадов амплитуд между соседствующими слоями. Утолщенные сплошные кривые построены по эмпирическим формулам синусоиды, прямой или экспоненты, подобным приведенным в работе [30].
Из рисунка можно видеть, что здесь в случае электромагнитной волны присутствуют те же основные виды распределения амплитуд, что и в случае одномерной. Главными видами являются синусоидальное и экспоненциальное. Эти виды распределения при изменении частоты чередуются друг за другом, а переход между ними происходит через посредство полусинусоидального и линейного распределения.
Рис.4. Распределение нормированных амплитуд волн прямого направления в слоях от координаты при различных частотах падающей волны.
Цифры в верхнем ряду - номера слоев. Параметры материала слоев:
; ; ; . Частоты следующие:
а - ; б - ; в - ; г - ;
д - ; е - ; ж - ; з - .
Рис.4 (продолжение). Частоты следующие:
и - ; к - ; л - ; м - ;
н - ; о - ; п - ; р - .
Если за точку перехода от синуса к экспоненте считать прямую линию, то переходы соответствуют частотам (рис.4ж) и (рис.4к). Следующие точки подобного перехода соответствуют частотам , и так далее с интервалами по .
На частотах ниже зависимость распределения амплитуд от координаты практически отсутствует, причем это отсутствие выражено тем сильнее, чем частота ниже, так что для частоты изменение амплитуды в слоях составляет менее (рис.4а). При увеличении частоты заметно выше распределение постепенно приобретает синусоидальный характер и при частоте (рис.4б) изменение амплитуды достигает уже .
Распределение амплитуд в интервале от (рис.4б) до (рис.4д) носит типичный синусоидальный характер. На рисунке полной эволюции распределения амплитуд от отсутствия распределения до конца синусоидального соответствует первый столбец от 4а до 4г. Считая от нуля, ширина полного интервала по частоте здесь составляет около
Однако при дальнейшем увеличении частоты всего на то есть уже на частоте синусоидальное распределение сменяется полусинусоидальным (рис.4е), которое при дальнейшем увеличении частоты на до переходит в линейное (рис.4ж), а затем при увеличении еще на до - в экспоненциальное (рис.4з). Таким образом, полный интервал смены синусоидального распределения на экспоненциальное заключен между и , чему на рисунке соответствует второй столбец (от 4д до 4з), причем этот интервал составляет не более .
Далее вплоть до частоты распределение является экспоненциальным (рис.4и). Полный интервал экспоненциального распределения составляет не менее .
При увеличении частоты с до экспоненциальное распределение переходит в линейное (рис.4к), затем при частоте - в полусинусоидальное (рис.4л), после чего, начиная с частоты , в синусоидальное (4м). Эта трансформация представлена третьим столбцом рисунка. Интервал здесь составляет .
Далее синусоидальное распределение, претерпевая некоторые вариации периода, как это показано на рис.4о - рис.4р (четвертый столбец рисунка), остается таковым вплоть до (на рисунке дальнейшие эволюции не показаны), где сменяется полусинусоидальным, затем на частоте - линейным, которое на частоте переходит в экспоненциальное и так далее. Интервалы перехода от экспоненциального распределения к синусоидальному и обратно составляют здесь и соответственно, тогда как интервал существования синусоидального распределения между этими переходами составляет .
Таким образом, средняя протяженность интервалов существования основных распределений, синусоидального и экспоненциального, составляет около , тогда как протяженность интервалов переходных распределений (полусинусоидального и линейного) не превышает , то есть составляет около или одну пятую от интервалов основных распределений.
13. Переход между распределениями амплитуды
Рассмотрим несколько более подробно характер изменения распределений амплитуд в слоях на примере частотных зависимостей при достаточно большом соотношении проницаемостей барьеров и промежутков (критерий «достаточности» обсуждается в следующем разделе). Обратимся к рис.5, где показаны зависимости нормированных амплитуд обратно направленной волны в слое №1 (а) и прямо направленных волн в слоях №15 (б) и №16 (в) от частоты падающей волны при соотношении между проницаемостями равным шести.
Рис.5. Зависимости нормированных амплитуд обратно направленной волны в слое №1 (а) и прямо направленных волн в слоях №15 (б) и №16 (в) от частоты падающей волны. В верхнем ряду - наименования областей с характерными распределениями амплитуд по слоям: 0(S) - синусоидальное (нулевая зона); 1Е - экспоненциальное (первая зона); 1S - синусоидальное (первая зона).
Параметры материала сред: ; ; ; .
Обозначения областей - те же, что в работе [30].
Из рисунка видно, что в области экспоненциального распределения (1Е) нормированная амплитуда обратно направленной волны в слое №1 близка к единице, то есть структура отражает падающую на нее волну практически полностью. При этом в слоях №15 и №16 амплитуды прямо направленных волн близки к нулю, то есть падающая волна через структуру не проходит.
В областях синусоидального распределения (0(S)) и (1S) амплитуда обратно направленных волн по частоте осциллирует от до Амплитуда прямо направленных волн в слое №15 также осциллирует между и , а в слое №16 - между и Значительное, почти в два раза, уменьшение среднего уровня осцилляций в слое №16 по сравнению со слоем №15 обусловлено свойствами четности этих слоев, подобно тому, как это обсуждалось в работе [30]. Некоторое превышение нормированной амплитуды в слое №15 над единицей, подобное наблюдавшемуся для одномерной волны [30], обусловлено переходом волны от слоя с большой проницаемостью (№14, где ) к слою с малой (№15, где ) и вызвано требованием сохранения потока энергии волны, правила работы с которым подробно разобраны в работе [51].
Переходы между областями с характерными распределениями являются плавными. Таким образом, между областями, соответствующими синусоидальному и экспоненциальному распределениям, имеются переходные области, приближенные границы которых (на уровне ) показаны пунктиром.
Граничные частоты переходных областей, для первой области (по нижнему уровню в точке минимума, по верхнему на уровне ), равны соответственно: и , для второй (по тем же уровням): и . Ширина первой области равна , что составляет около от частоты ее центра (, а ширина второй области - , то есть около от частоты ее центра ().
Ширина переходных областей по мере увеличения соотношения диэлектрических проницаемостей барьера и промежутка уменьшается. Так при и переходная область между зонами 0(S) и 1Е составляет около от центральной частоты, при увеличении до значения уменьшается до , а при составляет всего . То есть переходы между синусоидальным и экспоненциальным распределениями с увеличением отношения проницаемостей становятся более резкими. Тем не менее, в переходных областях по мере изменения частоты переход между распределениями амплитуд всегда остается достаточно плавным: от синусоидального распределения к полусинусоидальному, затем к линейному, которое переходит в экспоненциальное. Переход от экспоненциального распределения к синусоидальному происходит в обратном порядке. Динамика перехода полностью аналогична таковой для одномерной волны, как это подробно рассмотрено в работе [30].
14. Слабая и сильная неоднородность
Рассмотрим теперь частотные зависимости амплитуд волн в слоях при сильной и сильной и слабой степенях неоднородности структуры. Будем различать сильную и слабую степень неоднородности по тому признаку, что в случае слабой неоднородности нормированная амплитуда обратно направленной волны в слое №1, то есть отраженной от структуры в целом, не достигает единицы ни при какой частоте падающей волны. При этом всегда часть энергии волны проходит через структуру, обнаруживая себя на ненулевом уровне в слоях №15 или №16. Заметим, что нулевой уровень здесь в обоих случаях является определенной идеализацией, асимптотически достижимой только при бесконечно большом числе элементов структуры. В реальном же случае рассматриваемой здесь структуры из 16 элементов (слоев) будем полагать критический уровень отражения равным
Обратимся к рис.6, где показаны зависимости нормированных амплитуд обратно направленной волны в слое №1 (а,г) и прямо направленных волн в слоях №15 (б,д) и №16 (в,е) от частоты падающей волны при различных соотношениях между проницаемостями слоев.
Рис.6. Зависимости нормированных амплитуд обратно направленной волны в слое №1 (а,г) и прямо направленных волн в слоях №15 (б,д) и №16 (в,е) от частоты падающей волны при различных соотношениях между проницаемостями слоев. Проницаемость барьера: а, б, в - ; г, д, е - .
Остальные параметры: ; ; .
Из рисунка видно, что в обоих случаях частотные зависимости амплитуды представляют собой чередование ярко выраженных «полос пропускания» и «непропускания», подобных имеющим место в периодической структуре бесконечной протяженности, в аналитическом виде получаемых классическими методами Хилла, Уиттекера, Бриллюэна [1,52,53]. Однако здесь, в отличие от классики, правильная периодичность в какой-то степени нарушается, что особенно хорошо видно из рис.6г-6е, где две «полосы пропускания» между и практически сливаются вместе, оставляя лишь сравнительно узкий неглубокий промежуток вблизи . Можно полагать, что такой характер наблюдаемых зависимостей обусловлен довольно небольшим количеством слоев структуры, насчитывающим всего 8 полных периодов изменения свойств.
Наблюдаются также заметные отличия от случая одномерной волны, рассмотренного в работе [30]. Так для одномерной волны при увеличении волнового числа области пропускания сужаются, причем амплитуда проходящих волн в слое №15 увеличивается, а в слое №16 уменьшается. В рассматриваемом здесь случае электромагнитной волны при увеличении частоты ширина тех и других полос меняется не более чем на , причем нерегулярным образом. Амплитуда как проходящих, так и отраженных волн также не имеет тенденции к систематическому увеличению или уменьшению, причем меняется в ту и другую сторону также на . То есть в нулевом приближении можно считать, что здесь как частотный интервал, так и амплитуда тех и других волн в пределах соответствующих полос практически не меняются (с точностью до ).
Рассмотрим теперь приведенные зависимости с количественной стороны.
Так рис.6а,б,в соответствуют слабой неоднородности: при , то есть проницаемость барьера превышает проницаемость промежутка всего в два раза. В этом случае максимальная амплитуда отраженной волны в слое №1 достигает уровня на частоте , а амплитуда проходящей волны на той же частоте в слое №15 падает до уровня и в слое №16 - до уровня То есть неоднородность, согласно приведенному критерию, является слабой.
Рис.6г,д,е соответствуют сильной неоднородности: при , то есть проницаемость барьера превышает проницаемость промежутка в десять раз. В этом случае максимальная амплитуда отраженной волны в слое №1 превышает критический уровень в интервале частот от до , достигая максимума, равного на частоте . При этом амплитуда проходящей волны в слое №15 падает до уровня ниже , на краях интервала минимума составляя на частоте и на частоте , достигая абсолютного минимума на частоте . Амплитуда проходящей волны в слое №16 падает до уровня ниже , на краях интервала минимума составляя на частоте и на частоте , достигая абсолютного минимума на частоте . Таким образом, неоднородность, согласно приведенному критерию, является сильной.
Основное различие между зависимостями, соответствующими слабой и сильной неоднородностям состоит в том, что при слабой неоднородности зависимости имеют плавный округлый вид, тогда как при сильной они резко очерчены по верхнему и нижнему уровням, то есть их вид близок к прямоугольному. Количество тех и других полос при сильной неоднородности резко возрастает. Так в рассматриваемом интервале частот () на рис.6а наблюдаются четыре колоколообразных максимума, тогда как на рис.6г - уже шесть широких прямоугольных и один узкий колоколообразный, то есть всего - семь. То же можно видеть и при сравнении рис.6б,в с рис.6д,е.
Оценка по формуле (5) для слабой неоднородности при дает частоту , что не соответствует никакой из наблюдаемых полос. В то же время, если взять среднее значение проницаемости между слоями: , а также положить, что длина такого «составного» слоя равна сумме длин барьера и промежутка: , то подставляя эти значения в формулу (5), получаем частоту , что весьма близко соответствует частоте первого максимума на рис.6а ().
Аналогичная оценка для сильной неоднородности при дает частоту , что получается заметно выше верхнего края первого максимума на рис.6г (). В то же время, если взять среднее значение проницаемости барьера и промежутка, а также положить слой «составным», то получаем частоту , что также довольно близко подходит к наблюдаемому значению центра этого максимума , а по минимумам для слоев №15 () и №16 () соответствие получается еще более близким.